5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론
개요
- 갈루아 이론 을 통한 5차방정식의 근의 공식의 불가능성 증명
순환체확장
- 순환 체확장(cyclic extension) 항목에서 가져옴
- 체<math>F</math>와 그 갈루아체확장 <math>K</math>에 대하여 갈루아군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름
(정리)
<math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>\zeta_n</math>를 포함한다 하자.(가령 <math>F</math>가 복소수체를 포함하는 경우)
<math>K</math>가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 <math>a\in F</math> 가 존재하여, <math>K= F(a)</math>와 <math>a^n\in F</math> 를 만족시킨다.
(증명)
힐버트 정리 90... 또는
<math>\text{Gal}(K/F)</math> 가 <math>\sigma</math>에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.
<math>K</math>에 정의된 (<math>F</math>-)선형사상 <math>\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i</math>는 <math>\{\sigma^i\}</math>의 선형독립성에 의하여, 0이 아니다.
따라서 <math>\tau(b)\in K\neq 0 </math> 인 <math>b\in K</math>가 존재한다.
<math>a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)</math>로 두면,
<math>\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math>
따라서 <math>[F(a):F]\geq n</math> 임을 알 수 있고, <math>[K:F]=n</math>으로부터 <math>K= F(a)</math>를 얻는다.
한편 <math>\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a</math> 이므로, <math>\sigma(a^n)=a^n</math>이 된다. 따라서 <math>a^n\in F</math>. ■
거듭제곱근 체확장(radical extension)
- 거듭제곱근 체확장(radical extension) 에서 가져옴
- 기본체 <math>F=F_0</math>
- 다음조건을 만족시키는 <math>F</math>의 체확장 <math>K=F(a_1,a_2,\cdots,a_r)</math>를 거듭제곱근 체확장이라 한다 자연수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math>
- 풀어쓰면 다음과 같다 원소 <math>b_1\in F</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>a_1=\sqrt[n_1]b_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_1=F(a_1)=F(\sqrt[n_1]b_1)</math> 원소 <math>b_2\in F_1</math>와 자연수 <math>n_2</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>a_2=\sqrt[n_2]b_2</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_2=F_1(b_2)=F_1(\sqrt[n_2]a_2)</math> 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=F_0</math>의 체확장을 거듭제곱근 체확장이라 한다
- 예:<math>\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{\sqrt{2}})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]2)</math>:<math>\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})</math>
- 정다각형의 작도, 5차방정식과 근의 공식 에서 중요하게 사용되는 개념이다
거듭제곱근 체확장의 갈루아군
- 갈루아 군의 정의는 갈루아 이론 항목을 참조
- 체 F가 primitive root of unity 를 가진다고 하자.
- F의 거듭제곱근 체확장 <math>K=F(\sqrt[n]a)</math> 의 갈루아군은 크기가 n인 순환군이다:<math>\text{Gal}(K/F)\cong C_n</math>
거듭제곱근 체확장과 가해군
- 가해군(solvable group) 항목에서 가져옴
- 5차방정식과 근의 공식 을 군론의 측면에서 이해하기 위해 가장 중요한 정리
(정리)
체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.
<math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>K</math>에 대하여 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다.
(증명)
거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
<math>F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K</math>
자연수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math>
이 체확장의 타워로부터 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다
<math>G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}</math>
<math>G_i=\text{Gal}(K/F_{i})</math>로 두자
갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다
<math>G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}</math>
따라서 <math>G=\text{Gal}(K/F)</math>는 가해군이다. ■