"지겔-베유 공식"의 두 판 사이의 차이
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* http://mathoverflow.net/questions/60355/relation-between-theta-series-and-eisensteinseries | * http://mathoverflow.net/questions/60355/relation-between-theta-series-and-eisensteinseries | ||
* http://mathoverflow.net/questions/111519/why-might-andr%C3%A9-weil-have-named-carl-ludwig-siegel-the-greatest-mathematician-of | * http://mathoverflow.net/questions/111519/why-might-andr%C3%A9-weil-have-named-carl-ludwig-siegel-the-greatest-mathematician-of | ||
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| + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
| + | * [http://www.math.ubc.ca/~cass/siegel/INDEX.html Integral quadratic forms and volume formulas], UBC graduate seminar, winter 2011 | ||
| + | * Jonathan Hanke, [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/09HankeNotes.pdf Quadratic Forms and Automorphic Forms] | ||
| + | * Haruzo Hida, [http://www.math.ucla.edu/~hida/RT01F.pdf Siegel-Weil Formulas], 2007 | ||
| + | * Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0. | ||
| + | * [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/easy_siegel_weil.pdf Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula] | ||
| + | * [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/siegel_integral.pdf Siegel's integral] | ||
2014년 7월 18일 (금) 22:21 판
개요
- 지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
- 같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
- rank가 $n$인 격자 $L$과 정수 $g\leq n$를 고정
- 격자의 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 $\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$ 정의된 함수로
$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$
- ${\rm Sp}(g,\Z)$의 합동부분군 $\Gamma$에 대해 weight이 $n/2$인 지겔 모듈라 형식
- 랭크가 $g\leq n$인 격자들을 $L$에 매장하는 방법의 개수에 대한 정보를 담고 있다
- 정리
$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}= E^{(g)}(Z),$$ 여기서 $E^{(g)}(Z)$는 $\Gamma$에 대한 아이젠슈타인 급수이며 $L$의 genus에만 의존
- 타마가와는 질량 공식이 직교군의 타마가와 수가 2라는 것과 동치임을 보임
예
8차원
- $g=1$의 경우
- $E_8$격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) $E_4$와 같다
$$\theta_{E_8}(\tau)=E_4(\tau)=1+240 q+2160 q^2+6720 q^3+17520 q^4+30240 q^5+\cdots$$
16차원
- $g=1$의 경우
- $E_8\oplus E_8$격자와 $D_{16}^{+}$격자의 세타함수는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) $E_4^2=E_8$와 같으며 따라서 가중치평균도 이와 같다
$$ \theta_{E_8\oplus E_8}(\tau)=\theta_{D_{16}^{+}}(\tau)=E_8(\tau)\\ E_8(\tau)=1+480 q+61920 q^2+1050240 q^3+7926240 q^4+\cdots $$
24차원
- 24차원 짝수 자기쌍대 격자 24개의 세타함수의 가중치평균
- $g=1$의 경우
$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M(\tau)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=E_{12}(\tau)$$
- 여기서 $E_{12}$는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
$$ E_{12}(\tau)=1+\frac{65520 q}{691}+\frac{134250480 q^2}{691}+\frac{11606736960 q^3}{691}+\frac{274945048560 q^4}{691}+\frac{3199218815520 q^5}{691}+\cdots $$
질문과 답변
- http://mathoverflow.net/questions/163357/eisenstein-part-of-the-theta-function
- http://mathoverflow.net/questions/60355/relation-between-theta-series-and-eisensteinseries
- http://mathoverflow.net/questions/111519/why-might-andr%C3%A9-weil-have-named-carl-ludwig-siegel-the-greatest-mathematician-of
리뷰, 에세이, 강의노트
- Integral quadratic forms and volume formulas, UBC graduate seminar, winter 2011
- Jonathan Hanke, Quadratic Forms and Automorphic Forms
- Haruzo Hida, Siegel-Weil Formulas, 2007
- Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
- Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula
- Siegel's integral
관련논문
- Weil, André. “Sur la formule de Siegel dans la théorie des groupes classiques.” Acta Mathematica 113, no. 1 (July 1, 1965): 1–87. doi:10.1007/BF02391774.
- Weil, André. “Sur certains groupes d’opérateurs unitaires.” Acta Mathematica 111, no. 1 (July 1, 1964): 143–211. doi:10.1007/BF02391012.
- Siegel, Carl Ludwig. “Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen.” The Annals of Mathematics 36, no. 3 (July 1935): 527. doi:10.2307/1968644.