격자의 지겔 세타 급수

개요

격자의 세타함수의 일반화
지겔 모듈라 형식의 예
자연수 <math>g</math>와 격자 <math>\Lambda</math>에 대하여 정의되는 해석함수 <math>\Theta_\Lambda^{(g)}:\mathcal{H}_g\to \mathbb{C}</math>
여기서 <math>\mathcal{H}_g</math>은 지겔 상반 공간

<math>

\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} </math>

격자의 세타함수는 <math>g=1</math>인 경우에 해당

기호

<math>\Lambda\subset \mathbb{R}^n</math> <math>n</math>차원 격자
<math>M</math>는 각 행이 <math>\Lambda</math>의 기저가 되는 <math>n\times n</math> 행렬
<math>A:=M^tM</math>는 <math>\Lambda</math>의 그램 행렬

g가 1인 경우

격자 <math>\Lambda</math>에 대하여, <math>N_m</math>를 <math>\{x\in\Lambda|x\cdot x=m\}</math>의 원소의 개수로 정의
<math>N_m</math>는 <math>\zeta A \zeta^{t} =m</math>를 만족하는 정수벡터 <math>\zeta</math>의 개수로 이해할 수 있다
다시 말해, <math>\Lambda</math>에 의해 얻어지는 이차형식이 정수 <math>m</math>을 표현하는 방법의 수이다
<math>\Lambda</math>의 세타함수는 복소상반평면 <math>\mathcal{H}_1</math>을 정의역으로 하는 다음과 같은 함수가 된다

<math>

\Theta_\Lambda(\tau)=\sum_{x\in\Lambda}q^{\frac{x\cdot x}{2}}=\sum_{m=0}^\infty N_mq^{m/2}, </math> 여기서 <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>이고, <math>\tau\in\mathcal{H}_1</math>.

예

<math>\mathbb{Z}</math>의 세타함수는 자코비 세타함수로 다음과 같다

<math>\Theta_{\mathbb{Z}}(\tau)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{m^2/2}=1+2q^{1/2}+2q^{4/2}+2q^{9/2}+\cdots\equiv\theta[{}_0^0](\tau)</math>

일반적인 자연수 g에 대한 세타함수의 일반화

자연수 <math>g</math>, (리만곡면의 genus에서 g가 온 것이다)
<math>\underline{\zeta}</math>를 정수계수를 갖는 <math>g\times n</math> 행렬
<math>\underline{x}</math>는 각 행이 격자 <math>\Lambda</math>의 원소가 되는 <math>g\times n</math> 행렬이라 하자
주어진 <math>\underline{x}</math>는 적당한 <math>\underline{\zeta}</math>에 대하여 <math>\underline{x}=\underline{\zeta}M</math>꼴로 쓰여진다
이제 각각의 정수계수 <math>g\times g</math> 행렬 <math>\underline{m}</math>에 대하여, <math>N_{\underline{m}}\in\mathbb{Z}</math>를 다음 방정식의 해의 개수로 정의하자

<math>

\underline{\zeta} A \underline{\zeta}^t =\underline{m}, </math>

<math>\underline{m}</math>의 성분 <math>m_{i,j}</math>는 <math>\underline{x}</math>의 두 행 <math>x_i,x_j\in\Lambda</math> 사이의 내적이다
따라서 <math>N_{\underline{m}}</math>는 <math>x_i\cdot x_j=m_{ij}</math>를 만족하는 <math>\underline{x}=(x_i)</math>의 개수이다
- <math>N_{\underline{m}}</math>은 <math>\underline{m}</math>에 대응되는 이차형식을 <math>\Lambda</math>에 대응되는 이차형식으로 표현하는 방법의 개수로 이해할 수 있다
<math>\Lambda</math>에 대한 genus <math>g</math> 세타함수는 지겔 상반 공간 <math>\mathcal{H}_g</math>에 정의되는 다음과 같은 해석함수이다

<math>

\begin{align} \Theta_\Lambda^{(g)}(\tau)&=\sum_{\underline{x}\in\Lambda^{(g)}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(\underline{x}\cdot \underline{x} \tau)}\\ &=\sum_{\underline{\zeta}\in\mathbb{Z}^{g,n}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(\underline{\zeta} A \underline{\zeta}^{t}\tau)}\\ &=\sum_{\underline{m}} N_{\underline{m}}\prod_{i\leq j}e^{\pi i m_{ij}\tau_{ij}}, \end{align} </math>

마지막 등식에서는 행렬의 대각합 (trace)의 성질이 사용되었다
짝수 자기쌍대 격자의 세타함수는 <math>\Gamma_g</math>에 대하여 weight <math>\frac{n}{2}</math>인 지겔 모듈라 형식
홀수 자기쌍대 격자는 <math>\Gamma_g(1,2)</math>에 대하여 weight <math>\frac{n}{2}</math>인 지겔 모듈라 형식
여기서

\begin{align*} & \Gamma_g:={\rm Sp}(2g,\mathbb{Z}), \qquad \Gamma_g(2):=\{ M\in \Gamma_g \mid M=\mathbb{I}\ {\rm mod} 2 \} \\ & \Gamma_g (1,2) :=\{ M=\left(^A_C{}^B_D \right) \in \Gamma_g (2) \mid \ A B^{t} ={\rm diag} C\ D^{t} =0 \ {\rm mod} 2 \}. \end{align*}

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdjZMcXJPZi12R2M/edit

격자의 지겔 세타 급수

목차

개요

기호

g가 1인 경우

예

일반적인 자연수 g에 대한 세타함수의 일반화

관련된 항목들

관련논문

매스매티카 파일 및 계산 리소스

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격자의 지겔 세타 급수

개요

기호

g가 1인 경우

예

일반적인 자연수 g에 대한 세타함수의 일반화

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