베이커-캠벨-하우스도르프 공식

개요

• 리대수에 정의된 bracket을 이용하여, $\exp$에 의한 리군의 원소의 곱셈을 정의

$$ e^x e^y = e^{H(x,y)} $$ 여기서 $$H(x,y)=x+y+\frac{1}{2}[x,y]+\frac{1}{12}([x,[x,y]]+[y,[y,x]])+\cdots$$

보조정리

• $n\times n$ 행렬 $X, Y$에 대하여, 다음이 성립한다

$$ e^{X}Y e^{-X} = e^{\operatorname{ad}X} Y =Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots $$

예

1

• 하이젠베르크 교환관계식 $[P,Q] = -i \hbar I$
• $U=e^{i \alpha P},V=e^{i\beta Q}$이면

$$U Q U^{-1}=Q+\alpha\hbar I$$

• 다항식 $f(Q)$에 대하여, 다음이 성립한다

$$U f(Q) U^{-1}=f(Q+\alpha\hbar I)$$ $$UVU^{-1}=e^{i\hbar \alpha \beta}V$$

• 양자 바일 대수와 양자평면의 관계식을 얻는다

2

• Quantized universal enveloping algebra
• $[h,x]=\lambda x$ 이면, (리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\) 등에서 나타나는 관계식. sl(2)의 유한차원 표현론 참조)

$$q^h x q^{-h}=q^{\lambda} x$$

메모

• Baker-Campbell-Hausdorff formula
• http://terrytao.wordpress.com/2011/09/01/254a-notes-1-lie-groups-lie-algebras-and-the-baker-campbell-hausdorff-formula/

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSm1mQXNlTENneUk/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Baker–Campbell–Hausdorff_formula

관련논문

• Van-Brunt, Alexander, and Matt Visser. “Simplifying the Reinsch Algorithm for the Baker-Campbell-Hausdorff Series.” arXiv:1501.05034 [hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:quant-Ph], January 20, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.05034.
• Van-Brunt, Alexander, and Matt Visser. “Special-Case Closed Form of the Baker-Campbell-Hausdorff Formula.” arXiv:1501.02506 [math-Ph, Physics:quant-Ph], January 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.02506.