"등비수열"의 두 판 사이의 차이
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* <math>1, 2, 4, 8, 16, \cdots </math>와 같이 인접한 두 항의 비가 일정한 수열 | * <math>1, 2, 4, 8, 16, \cdots </math>와 같이 인접한 두 항의 비가 일정한 수열 | ||
* 이전의 항에 일정한 숫자를 곱해 얻어진다 | * 이전의 항에 일정한 숫자를 곱해 얻어진다 | ||
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* 점화식 : <math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=r</math>. 이때 <math>r</math>은 <공비> 라고 부른다. | * 점화식 : <math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=r</math>. 이때 <math>r</math>은 <공비> 라고 부른다. | ||
* 등비중항 : 연속한 세 수가 등비수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 기하평균이다. | * 등비중항 : 연속한 세 수가 등비수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 기하평균이다. | ||
| − | * | + | * 모든 항이 양수인 등비수열인 경우, 각 항에 로그를 취한 수열은 등차수열이 된다. |
| + | ==등비수열의 합== | ||
| + | * $a_n=a \times r^{n-1}$이라 하자 | ||
| + | * 다음이 성립한다 | ||
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| + | \sum_{k=1}^n a_k=\frac{a \left(1-r^n\right)}{1-r} | ||
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==메모== | ==메모== | ||
| − | + | * $s$ : 자연수, $m$ : 음이 아닌 정수 | |
| − | + | * $J=\{(j_1,\cdots,j_s)\in \mathbb{Z}^s|j_1+\cdots+j_s=m, j_i\geq 0\}$. | |
| + | $$ | ||
| + | \sum_{j\in J} \xi_1^{j_1} \cdots \xi_s^{j_s} = | ||
| + | \sum_{i=1}^s \frac{\xi_i^m}{\prod_{k=1,(k \ne i)}^s (1-\xi_k/\xi_i)}, | ||
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2016년 1월 4일 (월) 06:08 판
개요
- \(1, 2, 4, 8, 16, \cdots \)와 같이 인접한 두 항의 비가 일정한 수열
- 이전의 항에 일정한 숫자를 곱해 얻어진다
등비수열
- 일반항 : 처음 \(a_1 \)항 와 곱해 주는 수 \(r \)이 이루는 등비수열 \[a_n=a_1\times r^{n-1}\]
- 점화식 \[\frac{a_n}{a_{n-1}}=r\]. 이때 \(r\)은 <공비> 라고 부른다.
- 등비중항 : 연속한 세 수가 등비수열을 이루면 가운데 수는 양 끝의 수의 기하평균이다.
- 모든 항이 양수인 등비수열인 경우, 각 항에 로그를 취한 수열은 등차수열이 된다.
등비수열의 합
- $a_n=a \times r^{n-1}$이라 하자
- 다음이 성립한다
$$ \sum_{k=1}^n a_k=\frac{a \left(1-r^n\right)}{1-r} $$
역사
메모
- $s$ : 자연수, $m$ : 음이 아닌 정수
- $J=\{(j_1,\cdots,j_s)\in \mathbb{Z}^s|j_1+\cdots+j_s=m, j_i\geq 0\}$.
$$ \sum_{j\in J} \xi_1^{j_1} \cdots \xi_s^{j_s} = \sum_{i=1}^s \frac{\xi_i^m}{\prod_{k=1,(k \ne i)}^s (1-\xi_k/\xi_i)}, $$
관련된 항목들