"교대 다중선형형식"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 16일 (월) 04:18 기준 최신판

개요

행렬식은 교대 다중선형형식의 예이다
\(V\) \[\mathbb F\]에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
다음 조건을 만족하는 다중선형형식(multilinear form) \(f:V^k\to \mathbb F\)를 교대 다중선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다

\[ f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k \]

\(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
\(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)

antisymmetrization 연산자

\(\operatorname{Alt}\) 연산자
다중선형형식 \(\omega\)로부터 교대 다중선형형식 \(\operatorname{Alt}(\omega)\)을 얻는 방법

\[ \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) \]

wedge product

\(A(V)\)에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
\(A(V)\)는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
두 다중선형형식 \(\omega, \eta\)에 대하여, 다중선형형식 \(\omega\otimes\eta\)을 다음과 같이 정의하자

\[ (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) \]

\(\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)\)에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의

\[ \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) \]

따라서

\[ \begin{align} (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \end{align} \]

(p,q)-shuffle 을 이용한 정의

\[ (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \] 여기서 \(S(p,q)\)는 (p,q)-셔플(shuffle)

교대 다중선형형식과 외대수의 쌍대 공간

\(\Lambda^k(V)\)의 쌍대 공간을 교대 다중선형형식을 통하여 이해할 수 있다

\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\]

수학용어번역

multilinear - 대한수학회 수학용어집
alternating - 대한수학회 수학용어집
form - 대한수학회 수학용어집

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWkxWXzktYWphR2s/edit

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 ==개요==
-* [[행렬식]]은 교대 겹선형 형식의 예이다
+* [[행렬식]]은 교대 다중선형형식의 예이다
-* $V$ : $\mathbb F$에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
+* <math>V</math> : <math>\mathbb F</math>에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
-* 다음 조건을 만족하는 겹선형 형식(multilinear form) $f:V^k\to \mathbb F$를 교대 겹선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다
+* 다음 조건을 만족하는 다중선형형식(multilinear form) <math>f:V^k\to \mathbb F</math>를 교대 다중선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다
-$$
+:<math>
 f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k
-$$
+</math>
-* <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 겹선형 k-형식의 집합
+* <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
 * <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math>
 ==antisymmetrization 연산자==
-* $\operatorname{Alt}$ 연산자
+* <math>\operatorname{Alt}</math> 연산자
-* 겹선형 형식 $\omega$로부터 교대 겹선형 형식 $\operatorname{Alt}(\omega)$을 얻는 방법
+* 다중선형형식 <math>\omega</math>로부터 교대 다중선형형식 <math>\operatorname{Alt}(\omega)</math>을 얻는 방법
-:<math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math>
+:<math>
+\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)})
+</math>
 ==wedge product==
-* $A(V)$에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
+* <math>A(V)</math>에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
-* $A(V)$는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
+* <math>A(V)</math>는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
-* 정의
+* 두 다중선형형식 <math>\omega, \eta</math>에 대하여, 다중선형형식 <math>\omega\otimes\eta</math>을 다음과 같이 정의하자
-:<math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)</math>
+:<math>
-여기서
+(\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m})
-$\omega\otimes\eta$는 다음과 같이 정의된 겹선형 형식
+</math>
-$$
+* <math>\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)</math>에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의
-(\omega\otimes\eta)(x_1,\ldots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \ldots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \ldots, x_{k+m})
+:<math>
-$$
+\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)
+</math>
+* 따라서
+:<math>
+\begin{align}
+(\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\
+&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})
+\end{align}
+</math>
 * [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의
-:<math>(\omega \wedge \eta)(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math>
+:<math>
+(\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})
+</math>
+여기서 <math>S(p,q)</math>는 [[(p,q)-셔플(shuffle)]]
-==교대 겹선형 형식과 외대수의 쌍대 공간==
+==교대 다중선형형식과 외대수의 쌍대 공간==
-*  $\Lambda^k(V)$의 쌍대 공간을 교대 겹선형 형식을 통하여 이해할 수 있다
+*  <math>\Lambda^k(V)</math>의 쌍대 공간을 교대 다중선형형식을 통하여 이해할 수 있다
 :<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math>
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 * [[행렬식]]
 * [[교대다항식(alternating polynomial)]]
+* [[겹선형형식(bilinear form)]]
 ==수학용어번역==
+* {{학술용어집|url=multilinear}}
 * {{학술용어집|url=alternating}}
 * {{학술용어집|url=form}}
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWkxWXzktYWphR2s/edit
+==관련도서==
+* Spivak, Michael. 1971. Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus. Westview Press.
+[[분류:선형대수학]]