교대 다중선형형식

개요

행렬식은 교대 다중선형형식의 예이다
\(V\) \[\mathbb F\]에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
다음 조건을 만족하는 다중선형형식(multilinear form) \(f:V^k\to \mathbb F\)를 교대 다중선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다

\[ f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k \]

\(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
\(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)

antisymmetrization 연산자

\(\operatorname{Alt}\) 연산자
다중선형형식 \(\omega\)로부터 교대 다중선형형식 \(\operatorname{Alt}(\omega)\)을 얻는 방법

\[ \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) \]

wedge product

\(A(V)\)에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
\(A(V)\)는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
두 다중선형형식 \(\omega, \eta\)에 대하여, 다중선형형식 \(\omega\otimes\eta\)을 다음과 같이 정의하자

\[ (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) \]

\(\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)\)에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의

\[ \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) \]

따라서

\[ \begin{align} (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \end{align} \]

(p,q)-shuffle 을 이용한 정의

\[ (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \] 여기서 \(S(p,q)\)는 (p,q)-셔플(shuffle)