"교대 다중선형형식"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 3개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | * [[행렬식]]은 교대 | + | * [[행렬식]]은 교대 다중선형형식의 예이다 |
| − | * | + | * <math>V</math> : <math>\mathbb F</math>에서 정의된 유한 차원 벡터 공간 |
| − | * 다음 조건을 만족하는 | + | * 다음 조건을 만족하는 다중선형형식(multilinear form) <math>f:V^k\to \mathbb F</math>를 교대 다중선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다 |
| − | + | :<math> | |
f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k | f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k | ||
| − | + | </math> | |
| − | * <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 | + | * <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합 |
* <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math> | * <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math> | ||
==antisymmetrization 연산자== | ==antisymmetrization 연산자== | ||
| − | * | + | * <math>\operatorname{Alt}</math> 연산자 |
| − | * | + | * 다중선형형식 <math>\omega</math>로부터 교대 다중선형형식 <math>\operatorname{Alt}(\omega)</math>을 얻는 방법 |
| − | + | :<math> | |
\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) | \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) | ||
| − | + | </math> | |
==wedge product== | ==wedge product== | ||
| − | * | + | * <math>A(V)</math>에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산 |
| − | * | + | * <math>A(V)</math>는 대수(algebra) 구조를 갖게됨 |
| − | * 두 | + | * 두 다중선형형식 <math>\omega, \eta</math>에 대하여, 다중선형형식 <math>\omega\otimes\eta</math>을 다음과 같이 정의하자 |
| − | + | :<math> | |
(\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) | (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) | ||
| − | + | </math> | |
| − | * | + | * <math>\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)</math>에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의 |
| − | + | :<math> | |
\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) | \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) | ||
| − | + | </math> | |
* 따라서 | * 따라서 | ||
| − | + | :<math> | |
\begin{align} | \begin{align} | ||
(\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ | (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ | ||
&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) | &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) | ||
\end{align} | \end{align} | ||
| − | + | </math> | |
* [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의 | * [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의 | ||
| − | + | :<math> | |
(\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) | (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) | ||
| − | + | </math> | |
| − | 여기서 | + | 여기서 <math>S(p,q)</math>는 [[(p,q)-셔플(shuffle)]] |
| − | ==교대 | + | ==교대 다중선형형식과 외대수의 쌍대 공간== |
| − | * | + | * <math>\Lambda^k(V)</math>의 쌍대 공간을 교대 다중선형형식을 통하여 이해할 수 있다 |
:<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> | :<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> | ||
| 53번째 줄: | 53번째 줄: | ||
* [[행렬식]] | * [[행렬식]] | ||
* [[교대다항식(alternating polynomial)]] | * [[교대다항식(alternating polynomial)]] | ||
| − | + | * [[겹선형형식(bilinear form)]] | |
==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
| + | * {{학술용어집|url=multilinear}} | ||
* {{학술용어집|url=alternating}} | * {{학술용어집|url=alternating}} | ||
* {{학술용어집|url=form}} | * {{학술용어집|url=form}} | ||
2020년 11월 16일 (월) 04:18 기준 최신판
개요
- 행렬식은 교대 다중선형형식의 예이다
- \(V\) \[\mathbb F\]에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
- 다음 조건을 만족하는 다중선형형식(multilinear form) \(f:V^k\to \mathbb F\)를 교대 다중선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다
\[ f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k \]
- \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
- \(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)
antisymmetrization 연산자
- \(\operatorname{Alt}\) 연산자
- 다중선형형식 \(\omega\)로부터 교대 다중선형형식 \(\operatorname{Alt}(\omega)\)을 얻는 방법
\[ \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) \]
wedge product
- \(A(V)\)에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
- \(A(V)\)는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
- 두 다중선형형식 \(\omega, \eta\)에 대하여, 다중선형형식 \(\omega\otimes\eta\)을 다음과 같이 정의하자
\[ (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) \]
- \(\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)\)에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의
\[ \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) \]
- 따라서
\[ \begin{align} (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \end{align} \]
- (p,q)-shuffle 을 이용한 정의
\[ (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \] 여기서 \(S(p,q)\)는 (p,q)-셔플(shuffle)
교대 다중선형형식과 외대수의 쌍대 공간
- \(\Lambda^k(V)\)의 쌍대 공간을 교대 다중선형형식을 통하여 이해할 수 있다
\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\]
관련된 항목들
수학용어번역
- multilinear - 대한수학회 수학용어집
- alternating - 대한수학회 수학용어집
- form - 대한수학회 수학용어집
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련도서
- Spivak, Michael. 1971. Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus. Westview Press.