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*  다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 ([[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 참조) (정리 ) 리우빌, 1835:<math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면,  (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다. (i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다. (ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.
 
*  다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 ([[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 참조) (정리 ) 리우빌, 1835:<math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면,  (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다. (i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다. (ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.
 
*  로그적분에의 적용 (증명):<math>\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\log x</math> 리우빌의 정리에 의하여,  미분방정식 <math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>를 만족시키는 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하지 않음을 보이면 된다.  먼저 유리함수 <math>R(x)</math>는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 <math>p(x), q(x)</math> (<math>q(x)</math>는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식  <math>R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> 로 쓸 수 있다. :<math>q(z)</math>가 <math>z=z_0</math>에서 복소해를 갖는다고 하고, <math>{\mu}\geq 1</math>를 그 multiplicity로 두자.   <math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}</math>, <math>R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math> 이다.:<math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math>이고, <math>\frac{1}{z}</math> 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로, :<math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>에 모순이다. ■
 
*  로그적분에의 적용 (증명):<math>\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\log x</math> 리우빌의 정리에 의하여,  미분방정식 <math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>를 만족시키는 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하지 않음을 보이면 된다.  먼저 유리함수 <math>R(x)</math>는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 <math>p(x), q(x)</math> (<math>q(x)</math>는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식  <math>R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> 로 쓸 수 있다. :<math>q(z)</math>가 <math>z=z_0</math>에서 복소해를 갖는다고 하고, <math>{\mu}\geq 1</math>를 그 multiplicity로 두자.   <math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}</math>, <math>R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math> 이다.:<math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math>이고, <math>\frac{1}{z}</math> 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로, :<math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>에 모순이다. ■
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2020년 11월 16일 (월) 08:10 판

개요

  • 적분으로 정의되는 함수\[\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx\]

 

 

로그적분의 초등함수 표현

  • 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 (부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 참조) (정리 ) 리우빌, 1835\[f(x), g(x)\] 는 유리함수이면,  (단, \(g(x)\) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다. (i)\(\int f(x)e^{g(x)} \,dx\) 는 초등함수이다. (ii) 유리함수 \(R(x)\)가 존재하여 \(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족시킨다.
  • 로그적분에의 적용 (증명)\[\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt\], \(t=\log x\) 리우빌의 정리에 의하여,  미분방정식 \(\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)\)를 만족시키는 유리함수 \(R(x)\)가 존재하지 않음을 보이면 된다.  먼저 유리함수 \(R(x)\)는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 \(p(x), q(x)\) (\(q(x)\)는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식  \(R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) 로 쓸 수 있다. \[q(z)\]가 \(z=z_0\)에서 복소해를 갖는다고 하고, \({\mu}\geq 1\)를 그 multiplicity로 두자.   \(z=z_0\) 근방에서 \(R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}\), \(R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}\) 이다.\[z=z_0\] 근방에서 \(R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}\)이고, \(\frac{1}{z}\) 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로, \[\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)\]에 모순이다. ■

 

 

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