"구면(sphere)"의 두 판 사이의 차이

2010년 12월 14일 (화) 20:43 판

3차원상의 반지름이 R인 구면 \( x^2+y^2+z^2 = R^2\)
매개화
\(X(u,v)=R(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v)\)
\(0<u<2\pi\), \(0<v<\pi\)
\(X_u=R(- \sin u \sin v , \cos u \sin v ,0)\)
\(X_v=R( \cos u \cos v , \sin u \cos v ,-\sin v)\)
\(N=(-\cos u \sin v, -\sin u \sin v, -\cos v)\)
\(X_{uu}=R(-\cos u \sin v , -\sin u \sin v ,0)\)
\(X_{uv}=R(-\cos v \sin u , \cos u \cos v , 0)\)
\(X_{vv}=R(- \cos u \sin v , - \sin u \sin v , - \cos v )\)

측지선 이 만족시키는 미분방정식
\(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
풀어쓰면,
\(\frac{d^2 u}{dt^2} + 2\Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\)
\(\frac{d^2 v}{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\)

가우스곡률 항목 참조
\(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\)
반지름 R인 구면의 가우스곡률
\(K=\frac{1}{R^2}\)

라플라시안
\(\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}\)

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+<h5>가우스곡률</h5>
+* [[가우스 곡률|가우스곡률]] 항목 참조<br><math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)</math><br>
+*  반지름 R인 구면의 가우스곡률<br><math>K=\frac{1}{R^2}</math><br>
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-<h5>가우스곡률</h5>
+<h5>라플라시안</h5>
-* [[가우스 곡률|가우스곡률]] 항목 참조<br><math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)</math><br>
+* [[라플라시안(Laplacian)|라플라시안]]<br><math>\Delta f  = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}   \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)  + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}   \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)  + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}</math><br>
-*  반지름 R인 구면의 가우스곡률<br><math>K=\frac{1}{R^2}</math><br>