크리스토펠 기호

개요

정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 <math>{\Gamma^k}_{ij}</math>, <math>i,j,k\in\ I</math>를 정의한다:<math>\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k</math>
접속형식 <math>A=(A_{ij})</math>을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다:<math>\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k</math> 즉 <math> A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}</math>
<math>\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}</math> 이 성립한다

3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함):<math>X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)</math>:<math>X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)</math>:<math>X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)</math>:<math>X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)</math>
<math>\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}</math>, <math>\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}</math> 가 성립한다

제1기본형식을 이용한 표현:<math>\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}</math>:<math>\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}</math>:<math>\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}</math>:<math>\Gamma^2_{11}=\frac{2EF_u-EE_v-FE_u}{2(EG-F^2)}</math>:<math>\Gamma^2_{12}=\frac{EG_u-FE_v}{2(EG-F^2)}</math>:<math>\Gamma^2_{22}=\frac{EG_v-2FF_v+FG_u}{2(EG-F^2)}</math>
<math>F=0</math> 인 경우:<math>\Gamma^1_{11}=\frac{E_u}{2E}</math>:<math>\Gamma^2_{11}=\frac{-E_v}{2G}</math>:<math>\Gamma^1_{12}=\frac{E_v}{2E}</math>:<math>\Gamma^2_{12}=\frac{G_u}{2G}</math>:<math>\Gamma^1_{22}=\frac{-G_u}{2E}</math>:<math>\Gamma^2_{22}=\frac{G_v}{2G}</math>