10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다

개요

• 초등정수론을 통한 10k+1 꼴의 소수의 무한성 증명
• 똑같은 증명을 2pk+1 (p : 소수) 꼴의 소수의 무한성을 보이는데 사용할 수 있다.
• 더 일반적으로 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 가 성립한다

증명

보조정리

p는 홀수인 소수이다. \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\) 의 소인수 중 p 가 아닌 것은 \(2kp + 1\) 꼴임을 보여라.

증명

\(p\neq q\)인 q가 \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\)의 소인수라 하자.

\(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\equiv (p-1)n+1 \pmod 2\) 이므로, \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\)는 언제나 홀수이다.

따라서 \(q \equiv 1 \pmod 2\)

이제 \(q \equiv 1 \pmod p\) 임을 보이자.

\(n\equiv 1 \pmod q\)이면, \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\equiv p \pmod q\) 이므로, q는 \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\) 약수일 수 없다. (\(p\neq q\)이므로)

\(n\not\equiv 1 \pmod q\)이라 하자. q는 \((n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1)(n-1)=n^p-1\)의 약수이므로, \(n^p-1\equiv 0 \pmod q\).

p는 소수이므로 \(n^k\equiv 1 \pmod q\) 을 만족시키는 k 중에서 p가 가장 작은 수이다. 따라서 오일러의 정리에 의해 p는 q-1을 나눈다.

따라서 \(q \equiv 1 \pmod p\).

그러므로 q는 \(2kp + 1\) 꼴이다. ■

정리

10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다.

증명

10k+1 꼴의 소수가 유한하다고 가정하고 그 집합을 \(\{q_1,q_2,\cdots,q_r\}\) 이라 하자.

\(p=5\), \(n=q_1q_2\cdots q_r\)로 두고, \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1>5\)을 생각하면, \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\)는 각 \(q_i\)로 나눈 나머지가 1이다.

보조정리에 의해 \(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\)는 \(q_1,q_2,\cdots,q_r\) 가 아닌 10k+1 꼴의 소인수를 가진다.

이는 10k+1 꼴의 소수의 집합이 \(\{q_1,q_2,\cdots,q_r\}\)라는 사실에 모순이다. ■

재미있는 사실

• 2010년 3월 KAIST 정수론 개론 시험 문제로 출제되었다

실험

• p=5인 경우
• 아래는 각각 {n, \(s=\sum_{k=0}^{p-1}n^{k}\), s의 약수}를 나타낸다.

1 5 {1,5} 2 31 {1,31} 3 121 {1,11,121} 4 341 {1,11,31,341} 5 781 {1,11,71,781} 6 1555 {1,5,311,1555} 7 2801 {1,2801} 8 4681 {1,31,151,4681} 9 7381 {1,11,61,121,671,7381} 10 11111 {1,41,271,11111} 11 16105 {1,5,3221,16105} 12 22621 {1,22621} 13 30941 {1,30941} 14 41371 {1,11,3761,41371} 15 54241 {1,11,4931,54241} 16 69905 {1,5,11,31,41,55,155,205,341,451,1271,1705,2255,6355,13981,69905} 17 88741 {1,88741} 18 111151 {1,41,2711,111151} 19 137561 {1,151,911,137561} 20 168421 {1,11,61,251,671,2761,15311,168421}

관련된 항목들

• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리