10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다
개요
- 초등정수론을 통한 10k+1 꼴의 소수의 무한성 증명
- 똑같은 증명을 2pk+1 (p : 소수) 꼴의 소수의 무한성을 보이는데 사용할 수 있다.
- 더 일반적으로 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 가 성립한다
증명
- 보조정리
p는 홀수인 소수이다. <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1</math> 의 소인수 중 p 가 아닌 것은 <math>2kp + 1</math> 꼴임을 보여라.
- 증명
<math>p\neq q</math>인 q가 <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1</math>의 소인수라 하자.
<math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\equiv (p-1)n+1 \pmod 2</math> 이므로, <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1</math>는 언제나 홀수이다.
따라서 <math>q \equiv 1 \pmod 2</math>
이제 <math>q \equiv 1 \pmod p</math> 임을 보이자.
<math>n\equiv 1 \pmod q</math>이면, <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\equiv p \pmod q</math> 이므로, q는 <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1</math> 약수일 수 없다. (<math>p\neq q</math>이므로)
<math>n\not\equiv 1 \pmod q</math>이라 하자. q는 <math>(n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1)(n-1)=n^p-1</math>의 약수이므로, <math>n^p-1\equiv 0 \pmod q</math>.
p는 소수이므로 <math>n^k\equiv 1 \pmod q</math> 을 만족시키는 k 중에서 p가 가장 작은 수이다. 따라서 오일러의 정리에 의해 p는 q-1을 나눈다.
따라서 <math>q \equiv 1 \pmod p</math>.
그러므로 q는 <math>2kp + 1</math> 꼴이다. ■
- 정리
10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다.
- 증명
10k+1 꼴의 소수가 유한하다고 가정하고 그 집합을 <math>\{q_1,q_2,\cdots,q_r\}</math> 이라 하자.
<math>p=5</math>, <math>n=q_1q_2\cdots q_r</math>로 두고, <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1>5</math>을 생각하면, <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1</math>는 각 <math>q_i</math>로 나눈 나머지가 1이다.
보조정리에 의해 <math>n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1</math>는 <math>q_1,q_2,\cdots,q_r</math> 가 아닌 10k+1 꼴의 소인수를 가진다.
이는 10k+1 꼴의 소수의 집합이 <math>\{q_1,q_2,\cdots,q_r\}</math>라는 사실에 모순이다. ■
재미있는 사실
- 2010년 3월 KAIST 정수론 개론 시험 문제로 출제되었다
실험
- p=5인 경우
- 아래는 각각 {n, <math>s=\sum_{k=0}^{p-1}n^{k}</math>, s의 약수}를 나타낸다.
1 5 {1,5} 2 31 {1,31} 3 121 {1,11,121} 4 341 {1,11,31,341} 5 781 {1,11,71,781} 6 1555 {1,5,311,1555} 7 2801 {1,2801} 8 4681 {1,31,151,4681} 9 7381 {1,11,61,121,671,7381} 10 11111 {1,41,271,11111} 11 16105 {1,5,3221,16105} 12 22621 {1,22621} 13 30941 {1,30941} 14 41371 {1,11,3761,41371} 15 54241 {1,11,4931,54241} 16 69905 {1,5,11,31,41,55,155,205,341,451,1271,1705,2255,6355,13981,69905} 17 88741 {1,88741} 18 111151 {1,41,2711,111151} 19 137561 {1,151,911,137561} 20 168421 {1,11,61,251,671,2761,15311,168421}