2차원 회전 변환과 SO(2)

개요

• 평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전시키는 변환 \(R_{\theta}: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\)은 다음 행렬로 표현된다 \[R_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]
• 두 회전변환 \(R_{\theta_1}\)과 \(R_{\theta_2}\)의 합성 \(R_{\theta_2}\circ R_{\theta_1}\)은 또다른 회전변환 \(R_{\theta_1+\theta_2}\)과 같으며, 이는 삼각함수의 덧셈공식을 통해 이해할 수 있다 \[\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\]
• 2차원 회전변환들의 집합은 군의 구조를 갖는다
• 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다

길이의 보존

• \((x',y')=(x \cos (\theta )-y \sin (\theta ),x \sin (\theta )+y \cos (\theta ) )\)이면, \(x^2+y^2=(x')^2+(y')^2\) 이 성립한다

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

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매스매티카 파일 및 계산 리소스

• http://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMjJiMDAyZDMtYTMzMi00ZDI1LWE4ZGUtMjc5MjQ4YWY0OGUx&sort=name&layout=list&num=50