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** <math>\ell(w_{\circ})=N=|\Delta^{+}|</math> | ** <math>\ell(w_{\circ})=N=|\Delta^{+}|</math> | ||
** length에 가장 큰 조건은 이러한 원소를 유일하게 결정함 | ** length에 가장 큰 조건은 이러한 원소를 유일하게 결정함 | ||
* 루트 시스템의 positive system 을 negative system으로 보낸다 | * 루트 시스템의 positive system 을 negative system으로 보낸다 | ||
| − | * 다음의 루트 시스템에 대해, non-trivial diagram automorphism 을 얻을 수 있다 | + | * 다음의 루트 시스템에 대해, non-trivial diagram automorphism 을 얻을 수 있다 |
** <math>A_n, n\in \mathbb{Z}</math> | ** <math>A_n, n\in \mathbb{Z}</math> | ||
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* <math>\left\{\alpha _1,\alpha _2\right\}</math>를 <math>\left\{-\alpha _2,-\alpha _1\right\}</math>로 보낸다 | * <math>\left\{\alpha _1,\alpha _2\right\}</math>를 <math>\left\{-\alpha _2,-\alpha _1\right\}</math>로 보낸다 | ||
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2020년 12월 28일 (월) 01:56 기준 최신판
개요
- \(\Sigma\) : 루트시스템의 fundamental system
- 루트시스템 \(\Delta=\Delta^{+}\sqcup\Delta^{-}\)
- 바일 군의 원소 중에서 length가 가장 큰 원소 \(w_\circ\)
- \(\ell(w_{\circ})=N=|\Delta^{+}|\)
- length에 가장 큰 조건은 이러한 원소를 유일하게 결정함
- 루트 시스템의 positive system 을 negative system으로 보낸다
- 다음의 루트 시스템에 대해, non-trivial diagram automorphism 을 얻을 수 있다
- \(A_n, n\in \mathbb{Z}\)
- \(E_6\)
- \(D_n, n\in 2\mathbb{Z}+1\)
- 특별한 콕세터 원소(Coxeter element) 의 곱으로 얻어짐
\(A_2\) 의 예
- \(w_\circ=s_1s_2s_1\) 가 longest element
- \(\left\{\alpha _1,\alpha _2\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _2,-\alpha _1\right\}\)로 보낸다
\(A_3\) 의 예
- \(w_\circ=s_2s_1s_3s_2s_1s_3\) 가 longest element
- \(\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _3,-\alpha _2,-\alpha _1\right\}\)로 보낸다
\(D_5\) 의 예
- longest element 는 \(w_{\circ}=s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5\)
- \(\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4,\alpha _5\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _5,-\alpha _4\right\}\)로 보낸다
메모
- http://mathoverflow.net/questions/54926/longest-element-of-weyl-groups
- http://mathoverflow.net/questions/75231/longest-element-of-a-weyl-group
관련된 항목들