Longest element of Weyl groups

개요

<math>\Sigma</math> : 루트시스템의 fundamental system
루트시스템 <math>\Delta=\Delta^{+}\sqcup\Delta^{-}</math>
바일 군의 원소 중에서 length가 가장 큰 원소 <math>w_\circ</math>
- <math>\ell(w_{\circ})=N=|\Delta^{+}|</math>
- length에 가장 큰 조건은 이러한 원소를 유일하게 결정함
루트 시스템의 positive system 을 negative system으로 보낸다
다음의 루트 시스템에 대해, non-trivial diagram automorphism 을 얻을 수 있다
- <math>A_n, n\in \mathbb{Z}</math>
- <math>E_6</math>
- <math>D_n, n\in 2\mathbb{Z}+1</math>
특별한 콕세터 원소(Coxeter element) 의 곱으로 얻어짐

<math>w_\circ=s_1s_2s_1</math> 가 longest element
<math>\left\{\alpha _1,\alpha _2\right\}</math>를 <math>\left\{-\alpha _2,-\alpha _1\right\}</math>로 보낸다

<math>w_\circ=s_2s_1s_3s_2s_1s_3</math> 가 longest element
<math>\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3\right\}</math>를 <math>\left\{-\alpha _3,-\alpha _2,-\alpha _1\right\}</math>로 보낸다

longest element 는 <math>w_{\circ}=s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5</math>
<math>\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4,\alpha _5\right\}</math>를 <math>\left\{-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _5,-\alpha _4\right\}</math>로 보낸다