등각 사상 (conformal mapping)

개요

• \((M,g)\)와 \((M',g')\) 는 같은 차원의 두 리만 다양체
• \(\varphi : M\to M'\) 가 적당한 함수 \(\Omega : M\to \mathbb{R_{+}}\) 에 대하여, \(\varphi^{*}g'=\Omega^2g\) 를 만족시킬 때, 이를 등각 사상이라 하며, \(\Omega\) 를 conformal factor라 부른다
• isometry는 등각 사상의 특별한 경우가 된다

local expression

• \((\varphi^{*}g')_{\mu\nu}(a)=g'_{ij}(\varphi(a))(\partial_{\mu}\varphi^{i})(\partial_{\nu}\varphi^{j})\) 이므로, 등각 사상이 되려면

\[\Omega^{2}g_{\mu\nu}(a)=g'_{ij}(\varphi(a))(\partial_{\mu}\varphi^{i})(\partial_{\nu}\varphi^{j})\] 가 만족되어야 한다

복소함수론에서의 등각 사상

• 도메인 \(U\subset \mathbb{C}\)에 대하여, 유클리드 메트릭이 주어졌다고 가정
• 함수 \(\varphi : U\to \mathbb{C}\)가 등각 사상이 될 조건은 코쉬-리만 방정식 으로 주어진다

등각 사상의 예

• 반전 사상(inversion)
• 입체사영 (stereographic projection)
• 뫼비우스 변환

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 코쉬-리만 방정식
• 뫼비우스 변환군과 기하학
• 수학과 지도학

수학용어번역

• 단어사전
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTUZuczlSZzR2ZlE/edit?pli=1
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations