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* 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>\theta=a\pi</math>일 때, <math>\cos \theta</math>, <math>\sin \theta</math>, <math>\tan \theta</math> 값이 언제 유리수가 되는가의 문제. | * 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>\theta=a\pi</math>일 때, <math>\cos \theta</math>, <math>\sin \theta</math>, <math>\tan \theta</math> 값이 언제 유리수가 되는가의 문제. | ||
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** <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math> | ** <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math> | ||
** <math>\sin \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math> | ** <math>\sin \theta\in \mathbb{Q}</math> 이면, <math>\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2</math> | ||
** <math>\tan \theta\in \mathbb{Q}</math>이면, <math>\tan \theta = 0,\pm1</math> | ** <math>\tan \theta\in \mathbb{Q}</math>이면, <math>\tan \theta = 0,\pm1</math> | ||
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서로 소인 정수 m,n>0에 대해, <math>\theta=m\pi/n</math>이고 <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 라 하자. | 서로 소인 정수 m,n>0에 대해, <math>\theta=m\pi/n</math>이고 <math>\cos \theta\in \mathbb{Q}</math> 라 하자. | ||
| − | <math>\alpha = \cos \theta + i \sin \theta </math> 라 두면, <math>\alpha^{n}=1</math> 이므로, | + | <math>\alpha = \cos \theta + i \sin \theta </math> 라 두면, <math>\alpha^{n}=1</math> 이므로, <math>\alpha</math> 는 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]] <math>\Phi_n(x) </math> 의 해가 된다. |
<math>\Phi_n(x) </math>는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, <math>\alpha</math> 의 최소다항식이다. | <math>\Phi_n(x) </math>는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, <math>\alpha</math> 의 최소다항식이다. | ||
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한편 <math>\alpha</math> 는 <math>f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]</math> 의 해이다. | 한편 <math>\alpha</math> 는 <math>f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]</math> 의 해이다. | ||
| − | + | 따라서 <math>\varphi(n)\leq 2</math> 가 성립하고 <math>n=1,2,3,4,6</math> 만이 가능하다. | |
<math>\sin \theta</math>과 <math>\tan \theta</math>에 대해서는 각각 | <math>\sin \theta</math>과 <math>\tan \theta</math>에 대해서는 각각 | ||
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<math>\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)</math> 를 이용하여 증명된다. ■ | <math>\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)</math> 를 이용하여 증명된다. ■ | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | + | * Jahnel, Jörg. 2010. “When Is the (co)sine of a Rational Angle Equal to a Rational Number?” arXiv:1006.2938 (June 15). http://arxiv.org/abs/1006.2938. | |
| − | * http://arxiv.org/abs/0904.0826 | + | * Dresden, Gregory P. 2009. “A New Approach to Rational Values of Trigonometric Functions.” arXiv:0904.0826 (April 5). http://arxiv.org/abs/0904.0826. |
* '''[Motose2007]'''Kaoru Motose, “Rational Values of Trigonometric Functions” , MAA Monthly (114) November 2007, page 818. | * '''[Motose2007]'''Kaoru Motose, “Rational Values of Trigonometric Functions” , MAA Monthly (114) November 2007, page 818. | ||
| − | * Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” <em>The American Mathematical Monthly</em> 52 (9) (November 1): 507–508. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2304540 10.2307/2304540]. | + | * Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” <em>The American Mathematical Monthly</em> 52 (9) (November 1): 507–508. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2304540 10.2307/2304540]. |
| − | * Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” <em>The American Mathematical Monthly</em> 69 (8) (October 1): 789–793. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2310783 10.2307/2310783]. | + | * Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” <em>The American Mathematical Monthly</em> 69 (8) (October 1): 789–793. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2310783 10.2307/2310783]. |
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2020년 12월 28일 (월) 02:29 기준 최신판
개요
- 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(\theta=a\pi\)일 때, \(\cos \theta\), \(\sin \theta\), \(\tan \theta\) 값이 언제 유리수가 되는가의 문제.
- 다음이 성립한다
- \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\cos \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\sin \theta\in \mathbb{Q}\) 이면, \(\sin \theta = 0,\pm1, \pm 1/2\)
- \(\tan \theta\in \mathbb{Q}\)이면, \(\tan \theta = 0,\pm1\)
증명
[Motose2007]의 증명
서로 소인 정수 m,n>0에 대해, \(\theta=m\pi/n\)이고 \(\cos \theta\in \mathbb{Q}\) 라 하자.
\(\alpha = \cos \theta + i \sin \theta \) 라 두면, \(\alpha^{n}=1\) 이므로, \(\alpha\) 는 원분다항식(cyclotomic polynomial) \(\Phi_n(x) \) 의 해가 된다.
\(\Phi_n(x) \)는 유리수체 위에서 기약다항식이므로, \(\alpha\) 의 최소다항식이다.
한편 \(\alpha\) 는 \(f(x)=x^2-2(\cos \theta)x+1\in \mathbb{Q}[x]\) 의 해이다.
따라서 \(\varphi(n)\leq 2\) 가 성립하고 \(n=1,2,3,4,6\) 만이 가능하다.
\(\sin \theta\)과 \(\tan \theta\)에 대해서는 각각
\(\cos (\pi/2-\theta)=\sin \theta\)와
\(\cos 2\theta=(1-\tan^2 \theta)/(1+\tan^2 \theta)\) 를 이용하여 증명된다. ■
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문
- Jahnel, Jörg. 2010. “When Is the (co)sine of a Rational Angle Equal to a Rational Number?” arXiv:1006.2938 (June 15). http://arxiv.org/abs/1006.2938.
- Dresden, Gregory P. 2009. “A New Approach to Rational Values of Trigonometric Functions.” arXiv:0904.0826 (April 5). http://arxiv.org/abs/0904.0826.
- [Motose2007]Kaoru Motose, “Rational Values of Trigonometric Functions” , MAA Monthly (114) November 2007, page 818.
- Olmsted, J. M. H. 1945. “Rational Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 52 (9) (November 1): 507–508. doi:10.2307/2304540.
- Carlitz, L., and J. M. Thomas. 1962. “Rational Tabulated Values of Trigonometric Functions.” The American Mathematical Monthly 69 (8) (October 1): 789–793. doi:10.2307/2310783.