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==개요==
  
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*  다음 형태로 주어지는 미분방정식:<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)</math>
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==예==
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* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]:<math>ay''+by'+cy=0</math>
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* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]:<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0</math>
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==론스키안(Wronskian)==
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===정의===
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* [[론스키안(Wronskian)]]은 미분방정식
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:<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0</math>의 일차독립인 두 해, <math>y_1,y_2</math>에 대하여 다음과 같이 정의된다:<math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}</math>
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===성질===
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:<math>\begin{vmatrix} y_1  & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math>
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(증명)
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<math>W=\begin{vmatrix} y_1  & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2</math>
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<math>W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW</math>
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따라서 적당한 상수 c에 대하여, <math>W=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math> ■
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==미분방정식의 변환 (Q-form)==
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* <math>y''+p(x)y'+q(x)y=0</math> 의 가운데 <math> p(x)y</math> 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다
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===증명===
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<math>\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}</math> 로 두자. <math>y(x)=\sigma(x)u(x)</math> 가 미분방정식의 해이면,
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:<math>u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0</math> 가 성립한다
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===응용===
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특별히 이를 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]] 에 응용할 경우,
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:<math> p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z},q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}</math> 로 두면,
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:<math>q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math>을 얻는다.
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여기서 <math>\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c</math>.
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==메모==
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* Bremer, James, and Vladimir Rokhlin. “On the Numerical Solution of Second Order Differential Equations in the High-Frequency Regime.” arXiv:1409.6049 [math], September 21, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.6049.
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* [http://www.ncl.ac.uk/maths/students/teaching/notebooks/SeriesSolnNotebook.pdf The series solution of second order ordinary differential equations and special functions]
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==관련된 항목들==
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNkloSUtXMkszZ1U/edit
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[[분류:미분방정식]]

2020년 12월 28일 (월) 02:51 기준 최신판

개요

  • 다음 형태로 주어지는 미분방정식\[\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\]



예



론스키안(Wronskian)

정의

\[\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0\]의 일차독립인 두 해, \(y_1,y_2\)에 대하여 다음과 같이 정의된다\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\]

성질

\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}\] (증명) \(W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2\)

\(W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW\)

따라서 적당한 상수 c에 대하여, \(W=\,c e^{-\int{p}\,dz}\) ■



미분방정식의 변환 (Q-form)

  • \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) 의 가운데 \( p(x)y\) 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다

증명

\(\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}\) 로 두자. \(y(x)=\sigma(x)u(x)\) 가 미분방정식의 해이면, \[u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0\] 가 성립한다


응용

특별히 이를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 에 응용할 경우,

\[ p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z},q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}\] 로 두면,

\[q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\]을 얻는다.

여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).



메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

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