"이계 선형 미분방정식"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 2명의 중간 판 20개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | * | + | * 다음 형태로 주어지는 미분방정식:<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==예== | |
| − | + | * [[상수계수 이계 선형미분방정식]]:<math>ay''+by'+cy=0</math> | |
| − | + | * [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]:<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0</math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | |||
| + | ==론스키안(Wronskian)== | ||
| + | ===정의=== | ||
| + | * [[론스키안(Wronskian)]]은 미분방정식 | ||
| + | :<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0</math>의 일차독립인 두 해, <math>y_1,y_2</math>에 대하여 다음과 같이 정의된다:<math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}</math> | ||
| + | ===성질=== | ||
| + | :<math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math> | ||
(증명) | (증명) | ||
| − | |||
<math>W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2</math> | <math>W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2</math> | ||
| 26번째 줄: | 30번째 줄: | ||
따라서 적당한 상수 c에 대하여, <math>W=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math> ■ | 따라서 적당한 상수 c에 대하여, <math>W=\,c e^{-\int{p}\,dz}</math> ■ | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==미분방정식의 변환 (Q-form)== | |
| − | * | + | * <math>y''+p(x)y'+q(x)y=0</math> 의 가운데 <math> p(x)y</math> 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다 |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ===증명=== | |
| + | <math>\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}</math> 로 두자. <math>y(x)=\sigma(x)u(x)</math> 가 미분방정식의 해이면, | ||
| + | :<math>u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0</math> 가 성립한다 | ||
| − | |||
| − | + | ===응용=== | |
| + | 특별히 이를 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]] 에 응용할 경우, | ||
| − | + | :<math> p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z},q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}</math> 로 두면, | |
| − | |||
| − | |||
| − | + | :<math>q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math>을 얻는다. | |
| − | + | 여기서 <math>\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c</math>. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==메모== | |
| + | * Bremer, James, and Vladimir Rokhlin. “On the Numerical Solution of Second Order Differential Equations in the High-Frequency Regime.” arXiv:1409.6049 [math], September 21, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.6049. | ||
| + | * [http://www.ncl.ac.uk/maths/students/teaching/notebooks/SeriesSolnNotebook.pdf The series solution of second order ordinary differential equations and special functions] | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNkloSUtXMkszZ1U/edit | |
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | [[분류:미분방정식]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2020년 12월 28일 (월) 02:51 기준 최신판
개요
- 다음 형태로 주어지는 미분방정식\[\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\]
예
- 상수계수 이계 선형미분방정식\[ay''+by'+cy=0\]
- 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\]
론스키안(Wronskian)
정의
- 론스키안(Wronskian)은 미분방정식
\[\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0\]의 일차독립인 두 해, \(y_1,y_2\)에 대하여 다음과 같이 정의된다\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\]
성질
\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}\] (증명) \(W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2\)
\(W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW\)
따라서 적당한 상수 c에 대하여, \(W=\,c e^{-\int{p}\,dz}\) ■
미분방정식의 변환 (Q-form)
- \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) 의 가운데 \( p(x)y\) 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다
증명
\(\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}\) 로 두자. \(y(x)=\sigma(x)u(x)\) 가 미분방정식의 해이면, \[u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0\] 가 성립한다
응용
특별히 이를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 에 응용할 경우,
\[ p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z},q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}\] 로 두면,
\[q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\]을 얻는다.
여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).
메모
- Bremer, James, and Vladimir Rokhlin. “On the Numerical Solution of Second Order Differential Equations in the High-Frequency Regime.” arXiv:1409.6049 [math], September 21, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.6049.
- The series solution of second order ordinary differential equations and special functions