이계 선형 미분방정식

개요

• 다음 형태로 주어지는 미분방정식\[\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\]

예

• 상수계수 이계 선형미분방정식\[ay''+by'+cy=0\]

• 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\]

론스키안(Wronskian)

정의

• 론스키안(Wronskian)은 미분방정식

\[\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0\]의 일차독립인 두 해, \(y_1,y_2\)에 대하여 다음과 같이 정의된다\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\]

성질

\[\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}\] (증명) \(W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2\)

\(W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW\)

따라서 적당한 상수 c에 대하여, \(W=\,c e^{-\int{p}\,dz}\) ■

미분방정식의 변환 (Q-form)

• \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) 의 가운데 \( p(x)y\) 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다

증명

\(\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}\) 로 두자. \(y(x)=\sigma(x)u(x)\) 가 미분방정식의 해이면, \[u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0\] 가 성립한다

응용

특별히 이를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 에 응용할 경우,

\[ p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z},q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}\] 로 두면,

\[q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\]을 얻는다.

여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).

메모

• Bremer, James, and Vladimir Rokhlin. “On the Numerical Solution of Second Order Differential Equations in the High-Frequency Regime.” arXiv:1409.6049 [math], September 21, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.6049.
• The series solution of second order ordinary differential equations and special functions

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNkloSUtXMkszZ1U/edit