"점화식, 미분방정식, 선형대수학"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 14개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==선형점화식== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | ==선형점화식 | ||
<math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식 | <math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식 | ||
| 19번째 줄: | 13번째 줄: | ||
점화식의 해가 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다. | 점화식의 해가 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다. | ||
| − | + | ||
특성방정식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우. | 특성방정식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우. | ||
| 27번째 줄: | 21번째 줄: | ||
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}</math> 꼴로 주어진다. | 따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}</math> 꼴로 주어진다. | ||
| − | + | ||
특성방정식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우 | 특성방정식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우 | ||
| 45번째 줄: | 39번째 줄: | ||
■ | ■ | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | ==상수계수 이계 선형미분방정식 | + | ==상수계수 이계 선형미분방정식== |
<math>ay''+by'+cy=0</math> | <math>ay''+by'+cy=0</math> | ||
| 55번째 줄: | 49번째 줄: | ||
선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다. | 선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다. | ||
| − | + | ||
특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우. | 특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우. | ||
| 63번째 줄: | 57번째 줄: | ||
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}</math> 꼴로 주어진다. | 따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}</math> 꼴로 주어진다. | ||
| − | + | ||
특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 가 중근을 <math>\alpha</math> 를 갖는 경우. | 특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 가 중근을 <math>\alpha</math> 를 갖는 경우. | ||
| − | + | ||
함수 <math>e^{\alpha t}</math>와 <math>te^{\beta t}</math>는 선형독립인 두 해가 된다. | 함수 <math>e^{\alpha t}</math>와 <math>te^{\beta t}</math>는 선형독립인 두 해가 된다. | ||
| − | + | ||
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}</math> 꼴로 주어진다. | 따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}</math> 꼴로 주어진다. | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
(증명) | (증명) | ||
| 91번째 줄: | 85번째 줄: | ||
미분방정식에 대입하면, | 미분방정식에 대입하면, | ||
| − | <math>ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0</math> | + | <math>ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0</math> ■ |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | * [[선형점화식]] | |
| + | * [[상수계수 이계 선형미분방정식]] | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | [[분류:선형대수학]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2020년 12월 28일 (월) 03:53 기준 최신판
개요
선형점화식
\(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식
점화식의 해가 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.
수열 \(\alpha^{n}\)와 \(\beta^{n}\)는 선형독립인 두 해가 된다.
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}\) 꼴로 주어진다.
특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우
수열 \(\alpha^{n} \)와 \(n\alpha^{n} \)는 선형독립인 두 해가 된다.
따라서 점화식의 일반해는 \(a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}\) 꼴로 주어진다.
(증명)
수열 \(n\alpha^{n} \)이 점화식의 해가 되는지를 확인하면 된다.
\(p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1} + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0\)
여기서 \(px^2 + qx + r = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0\)이다.
■
상수계수 이계 선형미분방정식
\(ay''+by'+cy=0\)
선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.
함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(e^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}\) 꼴로 주어진다.
특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \) 가 중근을 \(\alpha\) 를 갖는 경우.
함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(te^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}\) 꼴로 주어진다.
(증명)
\(ax^2 + bx + c = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0\)이다.
\(y(t) = te^{\alpha t}\) 라 하자.
\(y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}\)
\(y''(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}\)
미분방정식에 대입하면,
\(ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0\) ■