"디리클레 베타함수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[#]]
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* 정의:<math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math>
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* <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> , <math>\chi(1)=1</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우의 디리클레 L-함수이다
 +
:<math>L_{-4}(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+9^{-s}-11^{-s}+\cdots, s>1</math>
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* 함수방정식 <math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math> 여기서
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:<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math>
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* 함수방정식에 대한 일반적인 정리는 [[디리클레 L-함수]] 참조
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
+
==Special values==
  
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*  디리클레 L-함수의 특별한 경우<br><math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math><br>
+
*  아래에서 <math>E_n</math>은  [[오일러수]]이며, 다음과 같이 주어짐 (<math>n</math>이 홀수이면, <math>E_n=0</math>)
−
*  함수방정식<br><math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math> 라 두면<br><math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math> 를 만족<br>
+
:<math>
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* 함수방정식에 대한 일반적인 정리는 [[디리클레 L-함수]] 참조<br>
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\begin{array}{c|c}
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n & E_n \\
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\hline
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0 & 1 \\
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2 & -1 \\
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4 & 5 \\
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6 & -61 \\
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8 & 1385 \\
 +
10 & -50521 \\
 +
12 & 2702765 \\
 +
14 & -199360981 \\
 +
16 & 19391512145 \\
 +
18 & -2404879675441 \\
 +
20 & 370371188237525
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
* <math>k\geq 0 </math> 인 정수일 때,:<math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}}</math>
 +
* <math>k\geq 0 </math>인 정수일 때,:<math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math>:<math>\beta(0)= \frac{1}{2}</math>:<math>\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}</math>:<math>\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}</math>:<math>\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}</math>:<math>\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math>:<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math>
 +
** [[카탈란 상수|카탈란상수]]로 많은 정적분에 등장함
  
−
 
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===증명===
  
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[[정수에서의 리만제타함수의 값]] 에서 사용한 방식을 모방한다.
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">Special values</h5>
+
<math>\beta(5)</math>의 경우를 예로 구해보자. 다음과 같은 함수 :<math>f(z):=\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}</math>에 대하여,
 +
다음의 적분을 생각하자.
 +
:<math>\oint_{C_{R}}f(z)dz</math>
 +
여기서 <math>C_{R}</math>는 원점을 중심으로 반지름이 <math>R</math> 인 원이다. 이때 <math>R</math>이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.
  
−
*  아래에서 <math>E_n</math>은  [[오일러수]]를 뜻함.<br><math>E_0=1</math>,<math>E_2 = −1</math>,<math>E_4 = 5</math>,<math>E_6 = −61</math>,<math>E_8 = 1,385</math>,<math>E_{10} = −50,521</math>,<math>E_{12} = 2,702,765</math>,<math>E_{14} = −199,360,981</math>,<math>E_{16} = 19,391,512,145</math>,<math>E_{18} = −2,404,879,675,441</math><br>
+
유수정리를 사용하자. 정수 <math>2k+1</math>에 대하여 <math>z\approx 2k+1</math> 이면, <math>\pi/2 \sec \pi z/2 \approx \frac{(-1)^{k+1}}{z-(2k+1)}</math> 이므로, <math>f(z)</math>의 정수 <math>2k+1</math>에서의 유수(residue)는 <math>(-1)^{k+1}\frac{1}{(2k+1)^{5}}</math>로 주어진다.
−
* <math>k\geq 0 </math> 인 정수일 때,<br><math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}</math><br>
 
−
* <math>k\geq 0 </math>인 정수일 때,<br><math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math><br><math>\beta(0)= \frac{1}{2},  \beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4},  \beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}, \beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}, \beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math><br>
 
  
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시컨트 함수의 멱급수 전개 ([[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]] 참조)
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:<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
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를 이용하면, <math>f</math>의 <math>z=0</math>에서의 유수는
 +
:<math>\frac{\pi}{2}\times \frac{5}{24}\times \frac{\pi^4}{16}</math>임을 알 수 있다.
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">증명</h5>
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그러므로 모든 유수의 합은
 +
:<math>0=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n}}{(2n-1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{5}}</math>
  
−
[[정수에서의 리만제타함수의 값]] 에서 사용한 방식을 모방한다.
+
따라서
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:<math>\beta(5)=\frac{5\pi^5}{1536}</math>
−
<math>\beta(5)</math>의 경우를 예로 구해보자.
 
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<math>\oint_{C_{R}}\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}dz</math>
 
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<math>C_{R}</math>는 원점을 중심으로 반지름이 <math>R</math> 인 원
 
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이때 <math>R</math>이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.
 
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유수정리를 사용하자. 
 
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정수 <math>2k+1</math>에 대하여 <math>z\approx 2k+1</math> 이면,  <math>\pi/2 \sec \pi z/2 \approx \frac{(-1)^{k+1}}{z-(2k+1)}</math>
 
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<math>\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}</math>의 정수 <math>2k+1</math>에서의 유수(residue)는 <math>(-1)^{k+1}\frac{1}{(2k+1)^{5}}</math>로 주어진다. 
 
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<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>  [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]] 참조
 
−
 
 
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를 이용하면 0 에서의 유수는 <math>\frac{\pi}{2}\times \frac{5}{24}\times \frac{\pi^4}{16}</math>임을 알 수 있다.
 
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그러므로 모든 유수의 합은 <math>0=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n}}{(2n-1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{5}}</math>
 
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따라서 <math>\beta(5)=\frac{5\pi^5}{1536}</math>
 
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일반적인 자연수 <math>k</math> 에 대하여도 마찬가지 방법으로
 
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<math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}</math>
 
  
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일반적인 자연수 <math>k</math> 에 대하여도 마찬가지 방법으로
 +
:<math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}</math>
 
을 얻는다.
 
을 얻는다.
  
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또한 함수방정식으로부터 <math>\beta(0)=\frac{1}{2}</math> 와 나머지 짝수인 음의 정수에서의 값을 구할 수 있음
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또한 함수방정식으로부터 <math>\beta(0)=\frac{1}{2}</math> 와 나머지 짝수인 음의 정수에서의 값을 구할 수 있음
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">special values for derivative</h5>
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<math>\beta'(1)</math> 의 값
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==special values for derivative <math>\beta'(1)</math>==
  
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<math>\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> 와 [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] 의 에르미트 표현 <math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>  을 사용하면,
+
* <math>\beta'(1)</math> 의 값
 +
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]를 사용하면, 함수를 다음과 같이 쓸 수 있음:<math>\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math>
 +
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]] 의 에르미트 표현:<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>
 +
*  미분은 다음과 주어짐:<math>\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>:<math>\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}=\log\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)}</math>
 +
*  함수방정식 :<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math>
 +
:<math>\Lambda'(s)=(\frac{\pi}{4})^{-(s+1)/2}(-\frac{1}{2}\log\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{s+1}{2})\beta(s)+(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta'(s)</math>
 +
:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>:<math>\Lambda'(s)=-\Lambda'(1-s)</math> 을 이용하면<math>\beta'(0)</math>과 <math>\beta'(1)</math>의 관계를 찾을 수 있다
  
−
<math>\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>
+
:<math>
 +
\begin{aligned}
 +
\Lambda'(0)&=(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1}{2})\beta(0)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma'(\frac{1}{2})\beta(0)+(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma(\frac{1}{2})\beta'(0) \\
 +
{}&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\ln(\frac{2}{\sqrt{\pi}})\frac{\sqrt{\pi}}{2}+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Gamma'(\frac{1}{2})\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi}\beta'(0) \\
 +
{}& =\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\ln 2 -\frac{\gamma}{2}+2\beta'(0)
 +
\end{aligned}
 +
</math>  
  
−
<math>\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}</math>
+
:<math>
 +
\begin{aligned}
 +
\Lambda'(1)&=(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1+1}{2})\beta(1)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{1+1}{2})\beta(1)+(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}\Gamma(\frac{1+1}{2})\beta'(1)\\
 +
{}&=(\frac{4}{\pi})\ln(\frac{2}{\sqrt{\pi}})\Gamma(1)\beta(1)+\frac{1}{2}\frac{4}{\pi}\Gamma'(1)\beta(1)+\frac{4}{\pi}\Gamma(1)\beta'(1)\\
 +
{}&=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1)
 +
\end{aligned}
 +
</math>
  
−
위의 함수방정식을 사용하자.
+
여기서 [[다이감마 함수(digamma function)]]의 다음 값을 이용하였음
 +
:<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>
 +
:<math>\Gamma'(1)=-\gamma</math>
 +
:<math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}= -2\ln{2} - \gamma</math>
 +
:<math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math>
  
−
[[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]] 의 값 <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math> 를 활용하여,
+
  
−
<math>\beta'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>
+
* <math>\beta'(0)</math>과 <math>\beta'(1)</math>의 관계
 +
:<math>-\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\frac{\gamma}{2}-2\beta'(0)=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1)</math>
 +
:<math>\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\beta'(0))=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\ln\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)})</math>
 +
:<math>=\frac{\pi}{4}(\ln 2+\ln \pi+ \gamma+2\ln\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)})</math>
  
−
를 얻는다. 
+
따라서
 +
:<math>\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math>
  
−
 
+
*  더 일반적인 경우에 대해서는 [[L-함수의 미분]] 참조
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
+
  
−
 
+
==역사==
  
−
 
+
* [[수학사 연표]]
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+
 +
==메모==
 +
* http://arxiv.org/abs/1404.5467
 +
  
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
==관련된 항목들==
  
−
 
+
* [[카탈란 상수]]
 +
* [[코탄젠트]]
 +
* [[감마함수]]
 +
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
 +
* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]]
  
−
 
+
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNmdRVF94N3BncXc/edit
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5>
 
  
−
* [[카탈란 상수]]<br>
+
==사전 형태의 자료==
−
* [[코탄젠트]]<br>
 
−
* [[감마함수]]<br>
 
−
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]<br>
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
 
−
 
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
+
* http://mathworld.wolfram.com/DirichletBetaFunction.html
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=secant
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
 
−
 
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
 
−
 
 
−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
 
 
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−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
 
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−
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
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==관련논문==
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* Patkowski, Alexander E. ‘Some Remarks on Glaisher-Ramanujan Type Integrals’. arXiv:1505.01530 [math], 6 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.01530.
  
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[[분류:특수함수]]
  
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==메타데이터==
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1227706 Q1227706]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'dirichlet'}, {'LOWER': 'beta'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:03 기준 최신판

개요

  • 정의\[\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}\]
  • \(\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) , \(\chi(1)=1\), \(\chi(-1)=-1\) 인 경우의 디리클레 L-함수이다

\[L_{-4}(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+9^{-s}-11^{-s}+\cdots, s>1\]

  • 함수방정식 \(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\) 여기서

\[\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\]


Special values

  • 아래에서 \(E_n\)은 오일러수이며, 다음과 같이 주어짐 (\(n\)이 홀수이면, \(E_n=0\))

\[ \begin{array}{c|c} n & E_n \\ \hline 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 4 & 5 \\ 6 & -61 \\ 8 & 1385 \\ 10 & -50521 \\ 12 & 2702765 \\ 14 & -199360981 \\ 16 & 19391512145 \\ 18 & -2404879675441 \\ 20 & 370371188237525 \end{array} \]

  • \(k\geq 0 \) 인 정수일 때,\[\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}}\]
  • \(k\geq 0 \)인 정수일 때,\[\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}\]\[\beta(0)= \frac{1}{2}\]\[\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}\]\[\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}\]\[\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}\]\[\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}\]\[G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\]

증명

정수에서의 리만제타함수의 값 에서 사용한 방식을 모방한다.

\(\beta(5)\)의 경우를 예로 구해보자. 다음과 같은 함수 \[f(z):=\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}\]에 대하여, 다음의 적분을 생각하자. \[\oint_{C_{R}}f(z)dz\] 여기서 \(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지름이 \(R\) 인 원이다. 이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 정수 \(2k+1\)에 대하여 \(z\approx 2k+1\) 이면, \(\pi/2 \sec \pi z/2 \approx \frac{(-1)^{k+1}}{z-(2k+1)}\) 이므로, \(f(z)\)의 정수 \(2k+1\)에서의 유수(residue)는 \((-1)^{k+1}\frac{1}{(2k+1)^{5}}\)로 주어진다.

시컨트 함수의 멱급수 전개 (삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수 참조) \[\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\] 를 이용하면, \(f\)의 \(z=0\)에서의 유수는 \[\frac{\pi}{2}\times \frac{5}{24}\times \frac{\pi^4}{16}\]임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 \[0=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n}}{(2n-1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{5}}\]

따라서 \[\beta(5)=\frac{5\pi^5}{1536}\]

일반적인 자연수 \(k\) 에 대하여도 마찬가지 방법으로 \[\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}\] 을 얻는다.

또한 함수방정식으로부터 \(\beta(0)=\frac{1}{2}\) 와 나머지 짝수인 음의 정수에서의 값을 구할 수 있음



special values for derivative \(\beta'(1)\)

  • \(\beta'(1)\) 의 값
  • 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)를 사용하면, 함수를 다음과 같이 쓸 수 있음\[\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\]
  • 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 의 에르미트 표현\[\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\]
  • 미분은 다음과 주어짐\[\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\]\[\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}=\log\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)}\]
  • 함수방정식 \[\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\]

\[\Lambda'(s)=(\frac{\pi}{4})^{-(s+1)/2}(-\frac{1}{2}\log\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{s+1}{2})\beta(s)+(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta'(s)\] \[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]\[\Lambda'(s)=-\Lambda'(1-s)\] 을 이용하면\(\beta'(0)\)과 \(\beta'(1)\)의 관계를 찾을 수 있다

\[ \begin{aligned} \Lambda'(0)&=(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1}{2})\beta(0)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma'(\frac{1}{2})\beta(0)+(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma(\frac{1}{2})\beta'(0) \\ {}&=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\ln(\frac{2}{\sqrt{\pi}})\frac{\sqrt{\pi}}{2}+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Gamma'(\frac{1}{2})\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi}\beta'(0) \\ {}& =\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\ln 2 -\frac{\gamma}{2}+2\beta'(0) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Lambda'(1)&=(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1+1}{2})\beta(1)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{1+1}{2})\beta(1)+(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}\Gamma(\frac{1+1}{2})\beta'(1)\\ {}&=(\frac{4}{\pi})\ln(\frac{2}{\sqrt{\pi}})\Gamma(1)\beta(1)+\frac{1}{2}\frac{4}{\pi}\Gamma'(1)\beta(1)+\frac{4}{\pi}\Gamma(1)\beta'(1)\\ {}&=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1) \end{aligned} \]

여기서 다이감마 함수(digamma function)의 다음 값을 이용하였음 \[\psi(1) = -\gamma\,\!\] \[\Gamma'(1)=-\gamma\] \[\psi\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}= -2\ln{2} - \gamma\] \[\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\]


  • \(\beta'(0)\)과 \(\beta'(1)\)의 관계

\[-\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\frac{\gamma}{2}-2\beta'(0)=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1)\] \[\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\beta'(0))=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\ln\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)})\] \[=\frac{\pi}{4}(\ln 2+\ln \pi+ \gamma+2\ln\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)})\]

따라서 \[\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\]


역사


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