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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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* 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 유도할 수 있음.
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* 아크탄젠트 함수를 통한 [[원주율(파이,π)]] 표현:<math>4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}</math>
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* <math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math>
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* 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
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* (증명)
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* 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨
  
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==증명==
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===배각공식을 통한 증명===
 
<math>\tan \alpha = \frac{1}{5}</math> 를 만족시키는 각도<math>\alpha</math>를 생각하자.
 
<math>\tan \alpha = \frac{1}{5}</math> 를 만족시키는 각도<math>\alpha</math>를 생각하자.
  
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탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,
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탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하여, 다음을 얻는다
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:<math>\tan  2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}</math>
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:<math>\tan  4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}</math>
  
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<math>\tan  2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}</math>
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이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
  
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<math>\tan  4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}</math>
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이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자.
  
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이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
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탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.
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:<math>\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}</math>
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이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
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:<math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math>■
  
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이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자.
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===복소수의 곱셈을 통한 증명===
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복소수의 곱셈 <math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math>을 확인하자.
  
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탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.
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이로부터, 다음을 얻는다.
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:<math>4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi</math>
  
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<math>\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}</math>
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따라서
  
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:<math>4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi</math>
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이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
 
  
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<math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math>
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==일반화==
  
 
* 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
 
* 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
  
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
 
  
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* [[삼각함수]]
 
  
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==역사==
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* 1671년 [[그레고리-라이프니츠 급수]]
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* 1706년 마친, [[#|마친(Machin)의 공식]]을 활용하여 파이값 100자리까지 계산
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* http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false
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* [[수학사 연표]]
  
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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* [[삼각함수]]
  
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* [[원주율(파이,π)|파이]]<br>
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** [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|파이값의 계산]]
 
  
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
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* [[원주율(파이,π)|파이]]
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** [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxc0c0Um1BY2I0cHc/edit
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<h5>사전형태의 참고자료</h5>
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==사전형태의 참고자료==
  
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula
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* http://mathworld.wolfram.com/MachinsFormula.html
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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==관련논문==
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* Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π  http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf
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* [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]
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** Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337
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* [http://www.jstor.org/stable/3618213 Complex Numbers and Machin-Type Formulae for π]
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** [http://www.jstor.org/stable/3618213 ]Nick LordThe Mathematical Gazette, Vol. 73, No. 463 (Mar., 1989), pp. 47-49
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[[분류:원주율]]
  
−
* [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]<br>
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==메타데이터==
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** Roger B. Nelsen
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===위키데이터===
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** Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q726385 Q726385]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Machin'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:42 기준 최신판

개요

  • 아크탄젠트 함수를 통한 원주율(파이,π) 표현\[4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}\]
  • 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
  • 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨



증명

배각공식을 통한 증명

\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.

탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하여, 다음을 얻는다 \[\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\] \[\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\]

이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.

이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.

탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다. \[\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\]

이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\]■


복소수의 곱셈을 통한 증명

복소수의 곱셈 \((5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i\)을 확인하자.

이로부터, 다음을 얻는다. \[4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi\]

따라서

\[4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi\] ■


일반화

  • 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.


역사



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 참고자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Machin'}]
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