"마친(Machin)의 공식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(사용자 2명의 중간 판 11개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+
==개요==
  
−
* [[마친(Machin)의 공식]]
+
* 아크탄젠트 함수를 통한 [[원주율(파이,π)]] 표현:<math>4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}</math>
−
 
+
* 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>개요</h5>
 
−
 
 
−
*  아크탄젠트 함수를 통한 [[원주율(파이,π)]] 표현<br><math>4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{1}{4}\pi</math><br>
 
−
* 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
 
 
* 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨
 
* 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨
  
−
 
+
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>배각공식을 통한 증명</h5>
 
  
 +
 +
==증명==
 +
===배각공식을 통한 증명===
 
<math>\tan \alpha = \frac{1}{5}</math> 를 만족시키는 각도<math>\alpha</math>를 생각하자.
 
<math>\tan \alpha = \frac{1}{5}</math> 를 만족시키는 각도<math>\alpha</math>를 생각하자.
  
−
탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,
+
탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하여, 다음을 얻는다
−
 
+
:<math>\tan  2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}</math>
−
<math>\tan  2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}</math>
+
:<math>\tan  4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}</math>
−
 
 
−
<math>\tan  4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}</math>
 
  
 
이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
 
이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
−
 
−
 
 
  
 
이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자.
 
이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자.
  
 
탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.
 
탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.
−
 
+
:<math>\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}</math>
−
<math>\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}</math>
 
−
 
 
−
 
 
  
 
이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
 
이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
 +
:<math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math>■
  
−
<math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math>■
 
  
−
 
+
===복소수의 곱셈을 통한 증명===
−
 
+
복소수의 곱셈 <math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math>을 확인하자.
−
 
 
−
 
 
−
<h5>복소수의 곱셈을 통한 증명</h5>
 
−
 
 
−
<math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math> 임을 확인하자.
 
  
 
이로부터, 다음을 얻는다.
 
이로부터, 다음을 얻는다.
−
 
+
:<math>4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi</math>
−
<math>4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi</math>
 
  
 
따라서
 
따라서
  
−
<math>4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi</math>. ■
+
:<math>4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi</math>
 +
■
  
−
 
 
  
−
 
+
==일반화==
−
 
 
−
<h5>일반화</h5>
 
  
 
* 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
 
* 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
  
−
 
 
−
 
−
 
 
  
−
 
 
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+
==역사==
  
−
*  <br>
+
* 1671년 [[그레고리-라이프니츠 급수]]
−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=machin+formula
+
* 1706년 마친, [[#|마친(Machin)의 공식]]을 활용하여 파이값 100자리까지 계산
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false
−
*  
+
* [[수학사 연표]]
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
+
==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
  
 
* [[삼각함수]]
 
* [[삼각함수]]
  
−
 
+
−
 
 
−
 
 
  
−
<h5>관련된 항목들</h5>
+
  
−
* [[원주율(파이,π)|파이]]<br>
+
==관련된 항목들==
−
** [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|파이값의 계산]]
 
  
−
 
+
* [[원주율(파이,π)|파이]]
 +
** [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]
  
−
 
+
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxc0c0Um1BY2I0cHc/edit
 +
  
−
<h5>사전형태의 참고자료</h5>
+
==사전형태의 참고자료==
  
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula
 +
* http://mathworld.wolfram.com/MachinsFormula.html
  
−
 
+
−
 
 
−
 
 
  
−
<h5>관련논문</h5>
+
  
−
* [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]<br>
+
==관련논문==
 +
* Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π  http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf
 +
* [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]
 
** Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337
 
** Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337
−
* [http://www.jstor.org/stable/3618213 Complex Numbers and Machin-Type Formulae for π]<br>
+
* [http://www.jstor.org/stable/3618213 Complex Numbers and Machin-Type Formulae for π]
 
** [http://www.jstor.org/stable/3618213 ]Nick LordThe Mathematical Gazette, Vol. 73, No. 463 (Mar., 1989), pp. 47-49
 
** [http://www.jstor.org/stable/3618213 ]Nick LordThe Mathematical Gazette, Vol. 73, No. 463 (Mar., 1989), pp. 47-49
 +
[[분류:원주율]]
  
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=machin+formula
+
==메타데이터==
−
* http://www.ams.org/mathscinet
+
===위키데이터===
−
* http://dx.doi.org/
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q726385 Q726385]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Machin'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:42 기준 최신판

개요

  • 아크탄젠트 함수를 통한 원주율(파이,π) 표현\[4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}\]
  • 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
  • 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨



증명

배각공식을 통한 증명

\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.

탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하여, 다음을 얻는다 \[\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\] \[\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\]

이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.

이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.

탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다. \[\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\]

이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\]■


복소수의 곱셈을 통한 증명

복소수의 곱셈 \((5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i\)을 확인하자.

이로부터, 다음을 얻는다. \[4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi\]

따라서

\[4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi\] ■


일반화

  • 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.


역사



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 참고자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Machin'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=마친(Machin)의_공식&oldid=52278"