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| − | * 아벨-야코비 사상 <math>u \colon X \to J(X)</math>를 다음과 같이 정의함 :<math>u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right) \bmod \Lambda</math | + | * <math>H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}</math>를 생성하는 2g 개의 닫힌 곡선 <math>\gamma_1, \dots, \gamma_{2g}</math> |
| + | * <math>H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g</math>를 생성하는 g개의 holomorphic 1-form <math>\omega_1,\cdots,\omega_{g}</math>, 여기서 K는 X의 canonical bundle | ||
| + | * 각 곡선 <math>\gamma_{j}</math>에 대하여, <math>\Omega_j = \left(\int_{\gamma_j} \omega_1, \dots, \int_{\gamma_j} \omega_g\right) \in \mathbb{C}^g</math>는 rank가 2g인 격자 <math>\Lambda</math>를 생성 | ||
| + | ** <math>\Omega^{1,0}\cong H^0(X, K)</math>, <math>\Omega^{1,0}</math> : space of holomorphic differential 1-forms. [[리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)]] | ||
| + | * 아벨-야코비 사상 <math>u \colon X \to J(X)</math>를 다음과 같이 정의함 :<math>u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right) \bmod \Lambda</math> | ||
| − | * u는 degree가 0인 | + | * u는 degree가 0인 divisor 에 대하여 정의되는 함수로 확장된다 |
| − | * u의 커널은 principal divisor로 주어지며 타원적분에 | + | * u의 커널은 principal divisor로 주어지며 타원적분에 대한 덧셈정리의 일반화이며 아벨의 정리라 볼 수 있다 |
| − | * u는 전사함수이며, 이를 야코비 정리라 한다 | + | * u는 전사함수이며, 이를 야코비 정리라 한다 |
| − | * 현대수학에서는 종수가 1이상인 컴팩트 리만곡면의 divisor class와 야코비안 사이에 동형사상이 있다고 표현한다 | + | * 현대수학에서는 종수가 1이상인 컴팩트 리만곡면의 divisor class와 야코비안 사이에 동형사상이 있다고 표현한다 |
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| − | * | + | * <math>J(X)=\mathbb{C}^g/\Lambda</math> |
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==역사== | ==역사== | ||
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
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==메모== | ==메모== | ||
| − | + | * Gmira, Seddik. “Abel-Jacobi Theorem.” arXiv:1507.05345 [math], July 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.05345. | |
* [http://www.nd.edu/%7Elnicolae/Printu.pdf http://www.nd.edu/~lnicolae/Printu.pdf] | * [http://www.nd.edu/%7Elnicolae/Printu.pdf http://www.nd.edu/~lnicolae/Printu.pdf] | ||
* http://modular.math.washington.edu/projects/kleinerman_99paper.pdf | * http://modular.math.washington.edu/projects/kleinerman_99paper.pdf | ||
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Jacobi_map http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Jacobi_map] | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Jacobi_map http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Jacobi_map] | ||
| − | * | + | * Jacobi inversion problem. E.D. Solomentsev (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Jacobi_inversion_problem&oldid=11287 |
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| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q4666729 Q4666729] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'abel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'jacobi'}, {'LEMMA': 'map'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:52 기준 최신판
개요
- 정의
- \(X\) : 종수가 \(g\)인 컴팩트 리만 곡면
- \(H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}\)를 생성하는 2g 개의 닫힌 곡선 \(\gamma_1, \dots, \gamma_{2g}\)
- \(H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g\)를 생성하는 g개의 holomorphic 1-form \(\omega_1,\cdots,\omega_{g}\), 여기서 K는 X의 canonical bundle
- 각 곡선 \(\gamma_{j}\)에 대하여, \(\Omega_j = \left(\int_{\gamma_j} \omega_1, \dots, \int_{\gamma_j} \omega_g\right) \in \mathbb{C}^g\)는 rank가 2g인 격자 \(\Lambda\)를 생성
- \(\Omega^{1,0}\cong H^0(X, K)\), \(\Omega^{1,0}\) : space of holomorphic differential 1-forms. 리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)
- 아벨-야코비 사상 \(u \colon X \to J(X)\)를 다음과 같이 정의함 \[u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right) \bmod \Lambda\]
- u는 degree가 0인 divisor 에 대하여 정의되는 함수로 확장된다
- u의 커널은 principal divisor로 주어지며 타원적분에 대한 덧셈정리의 일반화이며 아벨의 정리라 볼 수 있다
- u는 전사함수이며, 이를 야코비 정리라 한다
- 현대수학에서는 종수가 1이상인 컴팩트 리만곡면의 divisor class와 야코비안 사이에 동형사상이 있다고 표현한다
야코비안
- \(J(X)=\mathbb{C}^g/\Lambda\)
역사
메모
- Gmira, Seddik. “Abel-Jacobi Theorem.” arXiv:1507.05345 [math], July 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.05345.
- http://www.nd.edu/~lnicolae/Printu.pdf
- http://modular.math.washington.edu/projects/kleinerman_99paper.pdf
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Jacobi_map
- Jacobi inversion problem. E.D. Solomentsev (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Jacobi_inversion_problem&oldid=11287
메타데이터
위키데이터
- ID : Q4666729
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'abel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'jacobi'}, {'LEMMA': 'map'}]