아벨-야코비 정리

개요

• 정의
• <math>X</math> : 종수가 <math>g</math>인 컴팩트 리만 곡면
• <math>H_1(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}</math>를 생성하는 2g 개의 닫힌 곡선 <math>\gamma_1, \dots, \gamma_{2g}</math>
• <math>H^0(X, K) \cong \mathbb{C}^g</math>를 생성하는 g개의 holomorphic 1-form <math>\omega_1,\cdots,\omega_{g}</math>, 여기서 K는 X의 canonical bundle
• 각 곡선 <math>\gamma_{j}</math>에 대하여, <math>\Omega_j = \left(\int_{\gamma_j} \omega_1, \dots, \int_{\gamma_j} \omega_g\right) \in \mathbb{C}^g</math>는 rank가 2g인 격자 <math>\Lambda</math>를 생성
  • <math>\Omega^{1,0}\cong H^0(X, K)</math>, <math>\Omega^{1,0}</math> : space of holomorphic differential 1-forms. 리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)
• 아벨-야코비 사상 <math>u \colon X \to J(X)</math>를 다음과 같이 정의함 :<math>u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right) \bmod \Lambda</math>

• u는 degree가 0인 divisor 에 대하여 정의되는 함수로 확장된다
• u의 커널은 principal divisor로 주어지며 타원적분에 대한 덧셈정리의 일반화이며 아벨의 정리라 볼 수 있다
• u는 전사함수이며, 이를 야코비 정리라 한다
• 현대수학에서는 종수가 1이상인 컴팩트 리만곡면의 divisor class와 야코비안 사이에 동형사상이 있다고 표현한다

야코비안

• <math>J(X)=\mathbb{C}^g/\Lambda</math>

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Gmira, Seddik. “Abel-Jacobi Theorem.” arXiv:1507.05345 [math], July 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.05345.
• http://www.nd.edu/~lnicolae/Printu.pdf
• http://modular.math.washington.edu/projects/kleinerman_99paper.pdf

관련된 항목들

• 리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Jacobi_map
• Jacobi inversion problem. E.D. Solomentsev (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Jacobi_inversion_problem&oldid=11287

메타데이터

위키데이터

• ID : Q4666729

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'abel'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'jacobi'}, {'LEMMA': 'map'}]