"양자 조화진동자"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:52 기준 최신판

개요

고전 역학에서의 조화진동자

고전 단순 조화 진동자
질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\]
해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
운동방정식\[\ddot{x}=-\omega^{2} x\] 또는 \[\ddot{x}+\omega^{2} x=0\]

양자조화진동자

위치 연산자와 운동량 연산자

\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]

해밀토니안

\[\hat H= \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\]

사다리 연산자(ladder operator)\[a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\]\[a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\]
교환자 관계식

\[\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\]\[\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\]\[\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\]

사다리 연산자를 이용하여 해밀토니안을 다음과 같이 쓸 수 있다

\[\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\]

슈뢰딩거 방정식

양자 조화진동자와 슈뢰딩거 방정식

energy eigenstates

\(\hbar=1\) 이라 가정하자
a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
바닥 상태의 에너지
- lowest energy state
- \(\omega/2\)
\(E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu\)라 두자
분배함수

\[ Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}} \]

역사

메모

“The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
quartic anharmonic oscillator http://facultypages.morris.umn.edu/math/Ma4901/Sp2013/Final/RobertSmith-Final.pdf

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q677864

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'quantum'}, {'LOWER': 'harmonic'}, {'LEMMA': 'oscillator'}]

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-==이 항목의 수학노트 원문주소==
-* [[양자 조화진동자]]
 ==개요==
 ==고전 역학에서의 조화진동자==
-* 고전역학에서의 조화진동자([[고전역학에서의 적분가능 모형]] 항목 참조)
+* [[고전 단순 조화 진동자]]
+*  질량 m, frequency <math>\omega</math> 인 조화진동자
-*  질량 m, frequency <math>\omega</math> 인 조화진동자<br>
+*  해밀토니안:<math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2</math>
-*  해밀토니안:<math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2</math><br>
+*  해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math>
-*  해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math><br>
+*  운동방정식:<math>\ddot{x}=-\omega^{2} x</math> 또는 :<math>\ddot{x}+\omega^{2} x=0</math>
-*  운동방정식:<math>\ddot{x}=-\omega^{2} x</math> 즉 <math>\ddot{x}+\omega^{2} x=0</math><br>
 ==양자조화진동자==
+* 위치 연산자와 운동량 연산자
-*  위치 연산자와 운동량 연산자:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>:<math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math><br>
+:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>
-*  해밀토니안:<math>\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2</math>:<math>\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)</math><br>
+* 해밀토니안
-*  사다리 연산자(ladder operator):<math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)</math>:<math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)</math><br>
+:<math>\hat H= \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2</math>
-*  Commutation relation:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>:<math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math>:<math>\left[ H, a^\dagger \right] =   \hbar \omega a^\dagger</math><br>
+* 사다리 연산자(ladder operator):<math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)</math>:<math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)</math>
+* 교환자 관계식
+:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>:<math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math>:<math>\left[ H, a^\dagger \right] =   \hbar \omega a^\dagger</math>
+* 사다리 연산자를 이용하여 해밀토니안을 다음과 같이 쓸 수 있다
+:<math>\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)</math>
 ==슈뢰딩거 방정식==
+* [[양자 조화진동자와 슈뢰딩거 방정식]]
-* [[슈뢰딩거 방정식]]
+==energy  eigenstates==
-*  위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}</math>:<math>V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2</math><br>
+* <math>\hbar=1</math> 이라 가정하자
-* energy eigenstate의 파동함수는 <math>\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)</math> 형태로 쓸 수 있다
+*  a harmonic oscillator that vibrates with frequency <math>\omega</math> can have energy <math>\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots</math>
-* http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf
+*  바닥 상태의 에너지
-* http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf
+**  lowest energy state
-* [[에르미트 다항식(Hermite polynomials)]]<br>
+** <math>\omega/2</math>
+* <math>E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu</math>라 두자
+* 분배함수
+:<math>
+Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}}
+</math>
-==energy  eigenstates==
-* <math>\hbar=1</math> 이라 가정하자<br>
-*  a harmonic oscillator that vibrates with frequency <math>\omega</math> can have energy <math>\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots</math><br>
-*  바닥 상태의 에너지<br>
-**  lowest energy state<br>
-** <math>\omega/2</math><br>
 ==역사==
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 * [[수학사 연표]]
 ==메모==
 * “The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
-* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
+* quartic anharmonic oscillator http://facultypages.morris.umn.edu/math/Ma4901/Sp2013/Final/RobertSmith-Final.pdf
 ==관련된 항목들==
 * [[행렬 역학]]
+* [[양자 바일 대수와 양자평면]]
+* [[하이젠베르크 군과 대수]]
+* [[Ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNjZjM2RkNjktODdiMS00YjEwLWJlNTAtNzVmNjk0ZTU0Mjdi/edit
 * http://demonstrations.wolfram.com/QuantizedSolutionsOfThe1DSchroedingerEquationForAHarmonicOsc/
+* [http://www.varioustopics.com/math-symbolic/519091-computations-with-non-commuting-variables.html Math - Symbolic Science Computations with non-commuting variables ]
-==수학용어번역==
-*  단어사전<br>
-** http://translate.google.com/#en|ko|
-** http://ko.wiktionary.org/wiki/
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%96%91%EC%9E%90%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%9E%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/양자조화진동자]
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
-* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
+==관련논문==
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+* Quesne, C. “Addendum to An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” arXiv:1508.02221 [math-Ph, Physics:nlin, Physics:physics, Physics:quant-Ph], August 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02221.
-* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
+* Quesne, C. “An Update on the Classical and Quantum Harmonic Oscillators on the Sphere and the Hyperbolic Plane in Polar Coordinates.” Physics Letters A 379, no. 26–27 (August 2015): 1589–93. doi:10.1016/j.physleta.2015.04.011.
+[[분류:양자역학]]
+[[분류:수리물리학]]
+[[분류:리군과 리대수]]
+[[분류:적분가능모형]]
-==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q677864 Q677864]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'quantum'}, {'LOWER': 'harmonic'}, {'LEMMA': 'oscillator'}]
-[[분류:양자역학]]