양자 조화진동자와 슈뢰딩거 방정식
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개요
- 슈뢰딩거 방정식
- 위치 연산자와 운동량 연산자
\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]\[\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\]
- 해밀토니안\[\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\]
- 위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다\[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}\]\[V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2\]
- energy eigenstate의 파동함수는 \(\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)\) 형태로 쓸 수 있다