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는 무한히 많은 유리수<math>p/q</math> 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 <math>\sqrt{5}</math> 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.
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* [[무리수와 디오판투스 근사]]
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===유리수 근사와 황금비(ii)===
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후르비츠의 정리에서 <math>\sqrt{5}</math> 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, <math>\sqrt{5}</math> 보다 큰 수는 불가능하다.
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임의의 <math>0<h<1</math> 에 대하여
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가 유한히 많은 유리수<math>p/q</math>에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.
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위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 <math>|\theta|<h<1</math>에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.
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<math>q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}</math>
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그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 <math>q</math> 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 <math>q</math>에 대하여, 오직 유한히 많은 <math>p</math> 만이 부등식을 만족시킨다.  ■
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==연분수의 재미있는 응용==
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* [[달력의 수학]]
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* [[수학과 음악]]
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* [[타자의 타율과 연분수]]
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
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* [[초등정수론]]
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* [[초등정수론의 토픽들]]
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==관련된 항목들==
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* [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]]
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* [[달력의 수학]]
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* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수]]
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* [[수학과 음악]]
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* [[타자의 타율과 연분수]]
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* [[황금비]]
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* [[수학사 연표]]
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수
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* http://en.wikipedia.org/wiki/continued_fraction
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem _on _diophantine _approximation
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27 s_continued _fraction
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* http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFractionConstant.html
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==관련논문==
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* [http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf Solving the Pell Equation]
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** Lenstra, Noitces of AMS, Volume 49, Number 2
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* [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions]
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** L. R. Ford, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
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==관련도서==
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* http://www.cambridge.org/au/academic/subjects/mathematics/number-theory/neverending-fractions-introduction-continued-fractions?format=PB
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==관련링크와 웹페이지==
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* 연분수 계산기 [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html Continued Fraction Calculator]
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[[분류:정수론]]
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[[분류:초등정수론]]
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[[분류:연분수]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q206816 Q206816]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'continued'}, {'LEMMA': 'fraction'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:53 기준 최신판

연분수

\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)

\(\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)

\(-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\)



연분수와 유리수 근사

  • 무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 다음 부등식

\[\left | \alpha-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{2{q^2}}\] 을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다


유리수 근사와 황금비

유리수 근사와 황금비(i)

정리 (후르비츠)

무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식

\[\left | \frac{p}{q}-\alpha \right |<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\]

는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.

유리수 근사와 황금비(ii)

후르비츠의 정리에서 \(\sqrt{5}\) 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, \(\sqrt{5}\) 보다 큰 수는 불가능하다.

임의의 \(0<h<1\) 에 대하여

\(\left | \frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right |<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}\)

가 유한히 많은 유리수\(p/q\)에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.


증명

위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 \(|\theta|<h<1\)에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)


\(\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)


\(5q^2 \left \{ (p^2-pq-q^2)-\theta \right \} =\theta^2\)


\((p^2-pq-q^2)-\theta\) 는 양수이고, 정수 \(p^2-pq-q^2\)는 0이 될 수 없으므로, \(p^2-pq-q^2\geq1\)

따라서,

\(q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}\)

그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 \(q\) 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 \(q\)에 대하여, 오직 유한히 많은 \(p\) 만이 부등식을 만족시킨다. ■


연분수의 재미있는 응용


관련된 고교수학 또는 대학수학



관련된 항목들



사전 형태의 자료



관련논문



관련도서



관련링크와 웹페이지

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'continued'}, {'LEMMA': 'fraction'}]
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