무리수와 디오판투스 근사

수학노트
둘러보기로 이동 검색으로 이동

개요

  • 슬로건
    • 어떤 수가 유리수로 근사가 잘 되면, 무리수임을 보일 수 있다
    • 어떤 수가 유리수로 근사가 매우 잘 되면, 초월수임을 보일 수 있다


유리수의 성질

  • <math>\alpha</math>가 유리수라고 하자. 적당한 정수 <math>q_0>0</math>가 존재하여, 모든 <math>p,q>0\in \mathbb{Z}</math>에 대하여, 다음 부등식이 성립한다
<math>

|\alpha-\frac{p}{q}|\geq \frac{1}{qq_0} </math>


디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

는 무한히 많은 유리수 <math>p/q</math>에 의하여 만족된다.

  • 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리) 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식:<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math> 는 무한히 많은 유리수<math>p/q</math> 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 <math>\sqrt{5}</math> 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
  • 연분수 항목 참조


무리수 판정

  • 모든 n에 대하여, <math>\frac{p_n}{q_n}\neq \alpha</math>, <math>q_n>0</math>이고,
<math>\lim_{n\to \infty}q_n\to \infty</math>

인 유리수열 <math>\{\frac{p_n}{q_n}\}</math>이, 적당한 <math>\delta>0</math>에 대하여 부등식 :<math>|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots</math>을 만족하면, <math>\alpha</math>는 무리수이다

증명

<math>\alpha</math>가 유리수이면,

<math>\liminf_{n\to \infty} |q_n\alpha-p_n|>0</math> 이 성립한다. 한편
<math>|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}} \iff |q_n\alpha-p_n|<\frac{1}{q_n^{\delta}}</math>

이고, <math>n\to \infty</math> 일 때, <math>\frac{1}{q_n^{\delta}}\to 0</math>이므로 모순.

리우빌 수

정리 (리우빌,1844)

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 와 임의의 양수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 부등식 :<math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}</math> 의 유리수해 <math>p/q</math>의 개수는 유한하다


Thue-Siegel-Roth 정리

  • 주어진 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식 :<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}</math>

을 만족시키는 유리수 <math>p/q</math> 의 개수는 유한하다

역사

  • 1844 리우빌
  • 1909 Thue
  • 1921 지겔
  • 1955 Roth (1958년 필즈메달)
  • 수학사 연표



메모

관련된 항목들




사전 형태의 자료



리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'diophantine'}, {'LEMMA': 'approximation'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=무리수와_디오판투스_근사&oldid=52291"