자연수의 분할수(integer partitions)

개요

• 분할수란 주어진 자연수를 자연수들의 덧셈으로 표현하는 방법의 수를 말함.
• 주어진 자연수를 자연수 몇 개로 쪼개서 그 합으로 쓸 수 있는 방법의 수
• 가령 주어진 수가 3 이라면, 1+1+1, 2+1, 3 세 가지 방법
• 주어진 자연수가 5 라면 1+1+1+1+1, 2+1+1+1, 2+2+1, 3+1+1, 3+2, 4+1, 5 일곱가지 방법
• 자연수 n에 대하여 이런 식으로 표현할 수 있는 방법의 수를 \(p(n)\) (n의 분할수, partition number)라 한다.
  • \(p(3)=3, p(5)=7\)
• 정수론, 조합론, 통계물리 등에서 중요한 역할 (모듈라 형식과 q-초기하급수 등)

수가 작은 경우의 분할수

\begin{array}{c|c} n & p(n) \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ 4 & 5 \\ 5 & 7 \\ 6 & 11 \\ 7 & 15 \\ 8 & 22 \\ 9 & 30 \\ 10 & 42 \\ 11 & 56 \\ 12 & 77 \\ 13 & 101 \\ 14 & 135 \\ 15 & 176 \\ 16 & 231 \\ 17 & 297 \\ 18 & 385 \\ 19 & 490 \\ 20 & 627 \\ \end{array}

• 200까지의 분할수 목록

생성함수

• 분할수의 생성함수는 무한곱으로 표현가능

\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\] \[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \]

• 분할수의 생성함수(오일러 함수) 항목을 참조

분할수의 점화식

• 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨

\[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\]

증명

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 를 이용하자. \[(1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\]

이는 분할수의 생성함수(오일러 함수)

\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \] 의 역수이므로, 둘을 곱하여 \[(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1\]

을 얻는다. 이로부터 \[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\] 를 얻을 수 있다. ■

예

• \(p(10)=42\)
• \(p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42\)

분할수가 만족시키는 합동식

• 라마누잔의 발견\[p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\]\[p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\]\[p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\]
• 분할수가 만족시키는 합동식 항목 참조

분할수의 근사공식

• 하디-라마누잔 분할수 공식

\[p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]

메모

• http://www.math.upenn.edu/~wilf/PIMS/PIMSLectures.pdf

관련된 항목들

• 라마누잔의 수학
• 데데킨트 에타함수
• Farey series
• 하디-라마누잔 분할수 공식
• 수학사 연표
• 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)
• q-초기하급수(q-hypergeometric series)

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 일변수미적분학
• 해석개론
• 복소함수론
• 초등정수론
• 해석적정수론

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbXN3Zm5LZnFPNU0/edit

관련도서

• George E. Andrews, The Theory of Partitions

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Partitions : at the interface of q-series and modular forms Andrews, George E., 2003
• George E. Andrews Euler's "De Partitio Numerorum", Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
• P. Shiu, Computations of the Partition Function The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 45-52

관련논문

• Koustav Banerjee, Prabir Das Adhikary, An elementary alternative proof for chan's analogue of ramanujan's most beautiful identity and some inequality of the cubic partition, arXiv:1604.03439 [math.NT], April 12 2016, http://arxiv.org/abs/1604.03439
• Scott Ahlgren, Nickolas Andersen, Algebraic and transcendental formulas for the smallest parts function, 10.1016/j.aim.2015.11.011, http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.011, Adv. Math. 289 (2016) 411-437, http://arxiv.org/abs/1504.02500v3
• Judge, Samuel D., William J. Keith, and Fabrizio Zanello. “On the Density of the Odd Values of the Partition Function.” arXiv:1511.05531 [math], November 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05531.
• Belmont, Eva, Holden Lee, Alexandra Musat, and Sarah Trebat-Leder. “L-Adic Properties of Partition Functions.” arXiv:1510.01202 [math], October 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.01202.
• Alwaise, Ethan, Robert Dicks, Jason Friedman, Lianyan Gu, Zach Harner, Hannah Larson, Madeline Locus, Ian Wagner, and Josh Weinstock. “Shifted Distinct-Part Partition Identities in Arithmetic Progressions.” arXiv:1507.07943 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07943.
• O’Sullivan, Cormac. “Asymptotics for the Partial Fractions of the Restricted Partition Generating Function I.” arXiv:1507.07975 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07975.
• O’Sullivan, Cormac. “Asymptotics for the Partial Fractions of the Restricted Partition Generating Function II.” arXiv:1507.07977 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07977.
• Engel, Benjamin. “Log-Concavity of the Overpartition Function.” arXiv:1412.4603 [math], December 15, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.4603.
• DeSalvo, Stephen, and Igor Pak. “Log-Concavity of the Partition Function.” arXiv:1310.7982 [math], October 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1310.7982.

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/분할수
• http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

메타데이터

위키데이터

• ID : Q298708

Spacy 패턴 목록

• [{'LEMMA': 'partition'}]