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| − | * 선형미분방정식:<math>\frac{d^n w}{dz^n} + A_1(z)\frac{d^{n-1}w}{dz^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(z)\frac{dw}{dz} + A_n(z)w=0</math | + | * 선형미분방정식:<math>\frac{d^n w}{dz^n} + A_1(z)\frac{d^{n-1}w}{dz^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(z)\frac{dw}{dz} + A_n(z)w=0</math> |
| − | * 선형미분방정식의 특이점을 다음과 같이 분류함 | + | * 선형미분방정식의 특이점을 다음과 같이 분류함 |
** 특이점이 아닌경우 ordinary point | ** 특이점이 아닌경우 ordinary point | ||
** 정칙특이점 (regular singular point) | ** 정칙특이점 (regular singular point) | ||
** 비정칙특이점 (irregular singular point) | ** 비정칙특이점 (irregular singular point) | ||
| − | * 특이점 <math>z=a</math> 근방에서, 미분방정식의 해가 함수 <math>(z-a)^{\alpha}\log^{k} (z-a), \alpha\in\mathbb{C}, k=0,1,2,\cdots</math> 들의 해석함수를 계수로 갖는 선형결합으로 쓰여지는 경우, <math>z=a</math>를 정칙특이점이라 한다 | + | * 특이점 <math>z=a</math> 근방에서, 미분방정식의 해가 함수 <math>(z-a)^{\alpha}\log^{k} (z-a), \alpha\in\mathbb{C}, k=0,1,2,\cdots</math> 들의 해석함수를 계수로 갖는 선형결합으로 쓰여지는 경우, <math>z=a</math>를 정칙특이점이라 한다 |
| − | * 각 <math>A_{i}(z)</math>가 <math>z=a</math>에서 기껏해야 order가 i 인 pole을 가지는 경우, z=a가 정칙특이점이 되는 것과 동치이다 | + | * 각 <math>A_{i}(z)</math>가 <math>z=a</math>에서 기껏해야 order가 i 인 pole을 가지는 경우, z=a가 정칙특이점이 되는 것과 동치이다 |
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==이계 선형 미분방정식의 경우== | ==이계 선형 미분방정식의 경우== | ||
| − | * [[이계 선형 미분방정식]]:<math>\frac{d^2w}{dz^2}+p(z)\frac{dw}{dz}+q(z)w=0</math | + | * [[이계 선형 미분방정식]]:<math>\frac{d^2w}{dz^2}+p(z)\frac{dw}{dz}+q(z)w=0</math> |
| − | * 위의 미분방정식이 <math>z=a</math>에서 정칙특이점을 갖는 것은 <math>p(z),q(z)</math> 가 <math>z=a</math> 근방에서 다음과 로랑급수를 가질 조건과 동치이다:<math>p(z)=\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^{2}+\cdots</math>:<math>q(z)=\frac{b_{-2}}{(z-a)^2}+\frac{b_{-1}}{z-a}+b_0+b_1(z-a)+b_2(z-a)^{2}+\cdots</math | + | * 위의 미분방정식이 <math>z=a</math>에서 정칙특이점을 갖는 것은 <math>p(z),q(z)</math> 가 <math>z=a</math> 근방에서 다음과 로랑급수를 가질 조건과 동치이다:<math>p(z)=\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^{2}+\cdots</math>:<math>q(z)=\frac{b_{-2}}{(z-a)^2}+\frac{b_{-1}}{z-a}+b_0+b_1(z-a)+b_2(z-a)^{2}+\cdots</math> |
* <math>z=\infty</math> 인 경우는 <math>u=1/z</math> 로 치환하여, <math>u=0</math>에서 <math>Y(u):=Y(1/z)=w(z)</math>가 만족하는 다음 미분방정식으로 특이점을 판단 | * <math>z=\infty</math> 인 경우는 <math>u=1/z</math> 로 치환하여, <math>u=0</math>에서 <math>Y(u):=Y(1/z)=w(z)</math>가 만족하는 다음 미분방정식으로 특이점을 판단 | ||
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| − | * [http://www.math.umn.edu/%7Egarrett/m/mfms/notes_c/reg_sing_pt.pdf http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/notes_c/reg_sing_pt.pdf] | + | * [http://www.math.umn.edu/%7Egarrett/m/mfms/notes_c/reg_sing_pt.pdf http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/notes_c/reg_sing_pt.pdf] |
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2021년 2월 17일 (수) 04:58 기준 최신판
개요
- 선형미분방정식\[\frac{d^n w}{dz^n} + A_1(z)\frac{d^{n-1}w}{dz^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(z)\frac{dw}{dz} + A_n(z)w=0\]
- 선형미분방정식의 특이점을 다음과 같이 분류함
- 특이점이 아닌경우 ordinary point
- 정칙특이점 (regular singular point)
- 비정칙특이점 (irregular singular point)
- 특이점 \(z=a\) 근방에서, 미분방정식의 해가 함수 \((z-a)^{\alpha}\log^{k} (z-a), \alpha\in\mathbb{C}, k=0,1,2,\cdots\) 들의 해석함수를 계수로 갖는 선형결합으로 쓰여지는 경우, \(z=a\)를 정칙특이점이라 한다
- 각 \(A_{i}(z)\)가 \(z=a\)에서 기껏해야 order가 i 인 pole을 가지는 경우, z=a가 정칙특이점이 되는 것과 동치이다
이계 선형 미분방정식의 경우
- 이계 선형 미분방정식\[\frac{d^2w}{dz^2}+p(z)\frac{dw}{dz}+q(z)w=0\]
- 위의 미분방정식이 \(z=a\)에서 정칙특이점을 갖는 것은 \(p(z),q(z)\) 가 \(z=a\) 근방에서 다음과 로랑급수를 가질 조건과 동치이다\[p(z)=\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^{2}+\cdots\]\[q(z)=\frac{b_{-2}}{(z-a)^2}+\frac{b_{-1}}{z-a}+b_0+b_1(z-a)+b_2(z-a)^{2}+\cdots\]
- \(z=\infty\) 인 경우는 \(u=1/z\) 로 치환하여, \(u=0\)에서 \(Y(u):=Y(1/z)=w(z)\)가 만족하는 다음 미분방정식으로 특이점을 판단
\[ Y''(u)+\frac{\left(2 u-p\left(\frac{1}{u}\right)\right) Y'(u)}{u^2}+\frac{q\left(\frac{1}{u}\right) Y(u)}{u^4}=0 \]
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- regular singularity , 정칙특이점
- singularity - 대한수학회 수학용어집
- regular - 대한수학회 수학용어집
- ordinary - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q3925845
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'regular'}, {'LOWER': 'singular'}, {'LEMMA': 'point'}]
- [{'LOWER': 'regular'}, {'LEMMA': 'point'}]