맴돌이군과 미분방정식

수학노트
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개요



로그함수와 맴돌이

오일러 미분방정식

로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.

복소함수 <math>y(z)</math>에 대한 오일러 미분방정식 을 생각해보자.

<math>z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0</math>

이 미분방정식은 원점 즉, <math>z=0</math>에서 정칙특이점을 가진다.


로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 <math>\alpha=1</math>, <math>\beta=0</math> 인 간단한 경우를 생각해 보자.

<math>z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0</math>


미분방정식의 해

이계 선형 미분방정식 이므로 <math>z=1</math> 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.


두 함수 <math>y_1=1</math>과 <math>y_2=\log z</math> (국소적으로 생각하고 있으므로, <math>y_2(1)=0</math> 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의 <math>z=1</math> 근방에서의 해공간의 기저가 된다.

<math>y_1'=0</math>이므로 미분방정식의 해이다. 또, <math>y_2'=1/z</math>, <math>y_2=-1/z^2</math>이므로 역시 미분방정식의 해이다.

즉 이 미분방정식의 <math>z=1</math> 근방의 모든 해는 적당한 복소수 <math>c_1,c_2</math>에 대하여 <math>y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2</math>의 형태로 쓸 수 있다.


해석적확장과 맴돌이

이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.

1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 <math>1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2</math> 으로 남아 있다.

한편, 미분방정식의 특이점인 <math>z=0</math> 즉, 원점 주위를 <math>z=1</math>에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 <math>y_1=\log z</math>를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, 복소로그함수에서 보았듯이 <math>2\pi i</math>만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 <math>\log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2</math> 를 얻게 된다.


따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 <math>y_1,y_2</math>에 대하여 행렬

<math>\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

에 대응된다.


한바퀴 도는 경우가 행렬

<math>\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는
<math>\begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> 세바퀴 도는 경우는
<math>\begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> 거꾸로 한바퀴 도는 경우는
<math>\begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ... 에 대응된다.


일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism)

<math>\pi_1(\mathbb{C}\backslash \{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})</math> 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 이러한 개념들을 이해해야, ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’ (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem)에 접근할 수 있다.

즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인

<math>z\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{dy}{dz}=0</math> 의 맴돌이군은 따라서 정수들이 이루는 군 <math>\mathbb{Z}</math>가 된다.


복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.


벡터다발 (vector bundle)과 접속, local system

  • <math>\mathbb{C}^\times</math>와 trivial rank 2 bundle <math>\cal{O}_{\mathbb{C}^\times}^2</math>
  • 접속 (connection)
<math>

\nabla \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = 

 d\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}   - 
 \begin{pmatrix}0 & 0 \cr 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} \frac{dz}{z}
 = \begin{pmatrix} df_1 \cr df_2 - f_1 \frac{dz}{z} \end{pmatrix}

</math>

  • <math>f=\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix}</math>가 horizontal section이 될 조건은 <math>\nabla f = 0</math>로 주어지며, 이는 다음의 미분방정식과 동치이다
<math>

f_2+\frac{f_2'}{z}=0 </math>

  • 단순연결된 공간 <math>U\subseteq \mathbb{C}^\times</math>에서, 해를 다음과 같이 표현할 수 있다
<math>

\begin{pmatrix} f_1 \cr f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \cr A \log z + B \end{pmatrix} </math>

타원적분과 맴돌이

미분방정식


선형독립인 해

<math>w_1(z)=w(z)</math>와 <math>w_2=w(1-z)</math>는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다 미분방정식의 특이점을 분석하면, <math>w_1(z)</math>와 :<math>w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z</math> 는 <math>z=0</math>에서 해석함수이고,<math>w_1(1-z)=w_2(z)</math>와

<math>w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z)</math> 는 <math>z=1</math>에서 해석함수임을 알수있다


미분방정식의 모노드로미

미분방정식의 해의 기저 <math>\{w_1,iw_2\}</math>에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다

  • <math>z=0</math> 주변의 루프는
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
  • <math>z=1</math> 주변의 루프는
<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.</math> 따라서 미분방정식의 모노드로미군은 <math>\Gamma(2)</math>가 된다

역사



메모

관련된 항목들



수학용어번역

  • monodromy - 대한수학회 수학용어집
  • bundle - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료

관련논문

  • Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez, Frank Sottile, Numerical computation of Galois groups, arXiv:1605.07806 [math.AG], May 25 2016, http://arxiv.org/abs/1605.07806

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hilbert'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'twenty'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'first'}, {'LEMMA': 'problem'}]
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