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==개요==
 
==개요==
  
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* 두 연속한 계수의 비가 <math>n</math> 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
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* 두 연속한 계수의 비가 <math>n</math> 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
 
* 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
 
* 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
 
* 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
 
* 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
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* q-analogue 에 대해서는 [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] 항목을 참조
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* q-analogue 에 대해서는 [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] 항목을 참조
  
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==정의==
 
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* 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우:<math>\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n</math>:<math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}</math> 이고 <math>{A(n)},{B(n)}</math>은 n에 관한 다항식인 경우<br>
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* 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우:<math>\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n</math>:<math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}</math> 이고 <math>{A(n)},{B(n)}</math>은 n에 관한 다항식인 경우
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* 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다:<math>\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}</math>
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* 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다:<math>\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}</math>
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여기서 <math>c,d</math>는 각각 <math>A,B</math>의 최고차항의 계수<br>
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여기서 <math>c,d</math>는 각각 <math>A,B</math>의 최고차항의 계수
 
*  이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다
 
*  이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다
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:<math>1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots</math><br>
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:<math>1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots</math>
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*  변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다:<math>\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots</math><br>
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*  변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다:<math>\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots</math>
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*  여기서  [[#|Pochhammer 기호]]<math>(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1</math>를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다:<math>\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)  = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}</math><br>
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*  여기서  [[#|Pochhammer 기호]]<math>(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1</math>를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다:<math>\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)  = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}</math>
  
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==오일러-가우스 초기하급수==
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==오일러-가우스 초기하급수==
  
 
* [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]에서 다룸
 
* [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]에서 다룸
 
:<math>\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n</math>
 
:<math>\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n</math>
  
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==예==
 
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*  지수함수:<math>e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n</math>:<math>\beta_n = \frac{1}{n!}</math>:<math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}</math><br>
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*  지수함수:<math>e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n</math>:<math>\beta_n = \frac{1}{n!}</math>:<math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}</math>
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*  이항급수:<math>(1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=F(a,1;1;z)</math><br>
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*  이항급수:<math>(1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=F(a,1;1;z)</math>
 
* <math>\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)</math>
 
* <math>\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)</math>
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* [[타원적분]]<br>[[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math><br>[[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]]:<math>E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)</math><br>
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* [[타원적분]][[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math>[[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]]:<math>E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)</math>
  
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==well-poised==
 
==well-poised==
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* http://mathworld.wolfram.com/Well-Poised.html
 
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==k-balanced==
 
==k-balanced==
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* http://mathworld.wolfram.com/k-Balanced.html
 
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==Clausen 항등식==
 
==Clausen 항등식==
 
:<math>\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) </math>
 
:<math>\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) </math>
  
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[[란덴변환(Landen's transformation)]]
 
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:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math>
 
:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math>
  
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==메모==
 
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* http://www.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_b/BMat48-2.pdf
 
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==재미있는 사실==
 
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* Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨
 
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==관련된 항목들==
 
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* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]]
 
* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]]
 
* [[자코비 세타함수]]
 
* [[자코비 세타함수]]
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* [[슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)|Schwarz-Christoffel mappings]]<br>
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* [[슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)|Schwarz-Christoffel mappings]]
 
* [[란덴변환(Landen's transformation)]]
 
* [[란덴변환(Landen's transformation)]]
 
* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]]
 
* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]]
 
* [[슈바르츠 삼각형 함수|슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)]]
 
* [[슈바르츠 삼각형 함수|슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)]]
  
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==계산 리소스==
 
==계산 리소스==
 
* http://people.maths.ox.ac.uk/porterm/research/pearson_final.pdf
 
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==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
 
* {{학술용어집|url=hypergeometric}}
 
* {{학술용어집|url=hypergeometric}}
  
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==사전 형태의 자료==
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하
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* http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html
  
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==관련도서==
 
==관련도서==
  
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* Zeev Nehari [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping], Dover Publications, 1982-1
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* Zeev Nehari [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping], Dover Publications, 1982-1
  
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Jenny Fuselier, Ling Long, Ravi Ramakrishna, Holly Swisher, Fang-Ting Tu, Hypergeometric Functions over Finite Fields, arXiv:1510.02575[math.NT], October 09 2015, http://arxiv.org/abs/1510.02575v2
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* Fuselier, Jenny, Ling Long, Ravi Ramakrishna, Holly Swisher, and Fang-Ting Tu. “Hypergeometric Functions over Finite Fields.” arXiv:1510.02575 [math], October 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.02575.
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* Gil, A., J. Segura, and N. M. Temme. “Computing the Kummer Function U(a,b,z) for Small Values of the Arguments.” arXiv:1509.05167 [math], September 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.05167.
 
* Pearson, John W., Sheehan Olver, and Mason A. Porter. ‘Numerical Methods for the Computation of the Confluent and Gauss Hypergeometric Functions’. arXiv:1407.7786 [math-Ph, Physics:physics], 29 July 2014. http://arxiv.org/abs/1407.7786.
 
* Pearson, John W., Sheehan Olver, and Mason A. Porter. ‘Numerical Methods for the Computation of the Confluent and Gauss Hypergeometric Functions’. arXiv:1407.7786 [math-Ph, Physics:physics], 29 July 2014. http://arxiv.org/abs/1407.7786.
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* George E. Andrews [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"], Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573. 
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* George E. Andrews [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"], Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.  
 
* R Askey  [http://dx.doi.org/10.1070/RM1990v045n01ABEH002325 Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series] 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86
 
* R Askey  [http://dx.doi.org/10.1070/RM1990v045n01ABEH002325 Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series] 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86
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* George E. Andrews [http://dx.doi.org/10.1137/1016081 Applications of Basic Hypergeometric Functions], SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
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* George E. Andrews [http://dx.doi.org/10.1137/1016081 Applications of Basic Hypergeometric Functions], SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)
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[[분류:특수함수]]
 
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q21028472 Q21028472]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
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* [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
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* [{'LOWER': 'ordinary'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:00 기준 최신판

개요

  • 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
  • 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
  • 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
  • q-analogue 에 대해서는 Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 항목을 참조



정의

  • 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우\[\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\]\[\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\] 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우
  • 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다\[\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\]

여기서 \(c,d\)는 각각 \(A,B\)의 최고차항의 계수

  • 이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다

\[1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\]

  • 변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다\[\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\]
  • 여기서 Pochhammer 기호\((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다\[\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\]



오일러-가우스 초기하급수

\[\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\]


예



well-poised



k-balanced



Clausen 항등식

\[\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \]



란덴변환(Landen's transformation) \[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]


메모



재미있는 사실

  • Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨



관련된 항목들


계산 리소스


수학용어번역


사전 형태의 자료


관련도서



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
  • [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
  • [{'LOWER': 'ordinary'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
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