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| + | :<math>\hat{f}(\mathbf{\xi}) := \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) e^{- 2\pi i \mathbf{x}\cdot \mathbf{\xi}}\,d\mathbf{x}</math> | ||
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| + | e^{\alpha \left(-x^2\right)} & \frac{\sqrt{\pi } e^{-\frac{\pi ^2 \xi ^2}{\alpha }}}{\sqrt{\alpha }} \\ | ||
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| + | f(x) & \hat{f}(\xi) \\ | ||
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| + | e^{-\pi t \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right)} & \frac{2 e^{-\frac{4 \pi \left(\xi _1^2-\xi _2 \xi _1+\xi _2^2\right)}{3 t}}}{\sqrt{3} t} | ||
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* [http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=200609080041 [사이언스 21](119)푸리에 급수] | * [http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=200609080041 [사이언스 21](119)푸리에 급수] | ||
** [http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=200609080041 ]전자신문, 2006-9-11 | ** [http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=200609080041 ]전자신문, 2006-9-11 | ||
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| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q6520159 Q6520159] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'fourier'}, {'LEMMA': 'transform'}] | ||
| + | * [{'LEMMA': 'FT'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:07 기준 최신판
개요
- 아벨군 \(G\)과 불변측도, 캐릭터 \(\chi:G\to \mathbb{C}\)그 위에 정의된 함수 \(f:G \to \mathbb C\), 에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의\[\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg\]
유한아벨군의 경우
- \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우
\[\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\] 여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)
- 가우스 합에의 응용
- 유한아벨군과 이산푸리에변환 항목에서 다루기로 함
푸리에변환
- 리 아벨군으로서의 \(G=(\mathbb{R}^n, +)\) 과 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의
\[\hat{f}(\mathbf{\xi}) := \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) e^{- 2\pi i \mathbf{x}\cdot \mathbf{\xi}}\,d\mathbf{x}\]
1차원 푸리에 변환의 예
\[ \begin{array}{c|c} f(x) & \hat{f}(\xi) \\ \hline e^{\alpha \left(-x^2\right)} & \frac{\sqrt{\pi } e^{-\frac{\pi ^2 \xi ^2}{\alpha }}}{\sqrt{\alpha }} \\ e^{i \pi \left(\tau x^2+2 x z\right)} & \frac{e^{-\frac{i \pi (z-\xi )^2}{\tau }}}{\sqrt{-i \tau }} \end{array} \]
2차원 푸리에 변환의 예
\[ \begin{array}{c|c} f(x) & \hat{f}(\xi) \\ \hline e^{-\pi t \left(x_1^2+x_2 x_1+x_2^2\right)} & \frac{2 e^{-\frac{4 \pi \left(\xi _1^2-\xi _2 \xi _1+\xi _2^2\right)}{3 t}}}{\sqrt{3} t} \end{array} \]
멜린 변환
- \(G=(\mathbb{R^{+}}, *)\), \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의\[\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\]
- 감마함수의 정의, 리만제타함수, 디리클레 L-함수의 해석적확장에 활용
- ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙
- 멜린-반스 적분
재미있는 사실
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전형태의 자료
관련기사
- [생활속과학원리찾기푸리에 변환은 어떻게 쓰일까]
- 안종제 영신고등학교 물리 교사, 세계일보, 2007-3-25
- [사이언스 21(119)푸리에 급수]
- [1]전자신문, 2006-9-11
메타데이터
위키데이터
- ID : Q6520159
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'fourier'}, {'LEMMA': 'transform'}]
- [{'LEMMA': 'FT'}]