"디리클레 베타함수"의 두 판 사이의 차이
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2009년 9월 13일 (일) 10:29 판
간단한 소개
\(\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s}\)
또는
\(\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^s}{\cosh t}\frac{dt}{t}\)
Special values
\(\beta'(1)\) 의 값
\(\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\) 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\) 을 사용하면,
\(\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\)
\(\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\)
\(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\)
가 만족시키는 함수방정식
\(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)
을 사용하자.
\(\beta(0)=\frac{1}{2}\) 을 쉽게 얻을 수 있다.
한편 Digamma 함수 의 값 \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\) 를 활용하여,
\(\beta'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\)
를 얻는다.
재미있는 사실
역사
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- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
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