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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
 
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<math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s}</math>
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*  디리클레 L-함수의 특별한 경우<br><math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math><br>
  
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*  함수방정식<br>  <br>  <br><math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math> 라 두면<br><math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math> 를 만족<br>
  
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<math>\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math>
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*  함수방정식<br>  <br>  <br><math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math><br><math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math><br>
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*  아래에서 <math>E_n</math>은  [[오일러수]]를 뜻함.<br>
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* <math>k\geq 0 </math> 인 정수일 때,<br><math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}</math><br>
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* <math>k\geq 0 </math>인 정수일 때,<br><math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math><br><math>\beta(0)= \frac{1}{2},  \beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4},  \beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}, \beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}, \beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math><br>
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<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
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*  아래에서 <math>E_n</math>은  [[오일러수]]를 뜻함.<br>
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* <math>k\geq 0 </math> 인 정수일 때,<br><math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}</math><br>
 
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* <math>k\geq 0 </math>인 정수일 때,<br><math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math><br><math>\beta(0)= \frac{1}{2},  \beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4},  \beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}, \beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}, \beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math><br>
 
  
 
 
 
 

2009년 9월 13일 (일) 15:43 판

간단한 소개
  • 디리클레 L-함수의 특별한 경우
    \(\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}\)
  • 함수방정식
     
     
    \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\) 라 두면
    \(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\) 를 만족

 

 

Special values
  • 아래에서 \(E_n\)은  오일러수를 뜻함.
  • \(k\geq 0 \) 인 정수일 때,
    \(\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}\)
  • \(k\geq 0 \)인 정수일 때,
    \(\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}\)
    \(\beta(0)= \frac{1}{2}, \beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}, \beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}, \beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}, \beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}\)

 

 

 

\(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\)

 

 

 

 

\(\beta'(1)\) 의 값

\(\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\) 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)  을 사용하면,

\(\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\)

\(\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\)

 


을 사용하자.

\(\beta(0)=\frac{1}{2}\) 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 Digamma 함수 의 값 \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\) 를 활용하여,

\(\beta'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\)

를 얻는다. 

 

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