디리클레 베타함수

간단한 소개

• 디리클레 L-함수의 특별한 경우
  \(\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}\)
  
• 함수방정식
  \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\) 라 두면
  \(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\) 를 만족
  
• #
  

 

Special values

• 아래에서 \(E_n\)은  오일러수를 뜻함.
  \(E_0=1\),\(E_2 = −1\),\(E_4 = 5\),\(E_6 = −61\),\(E_8 = 1,385\),\(E_{10} = −50,521\),\(E_{12} = 2,702,765\),\(E_{14} = −199,360,981\),\(E_{16} = 19,391,512,145\),\(E_{18} = −2,404,879,675,441\)
  
• \(k\geq 0 \) 인 정수일 때,
  \(\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}\)
  
• \(k\geq 0 \)인 정수일 때,
  \(\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}\)
  \(\beta(0)= \frac{1}{2}, \beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}, \beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}, \beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}, \beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}\)
  

 

증명

정수에서의 리만제타함수의 값 에서 사용한 방식을 모방한다.

\(\beta(5)\)의 경우를 예로 구해보자.

\(\oint_{C_{R}}\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}dz\)

\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지름이 \(R\) 인 원

이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 

정수 \(2k+1\)에 대하여 \(z\approx 2k+1\) 이면,  \(\pi/2 \sec \pi z/2 \approx \frac{(-1)^{k+1}}{z-(2k+1)}\)

\(\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}\)의 정수 \(2k+1\)에서의 유수(residue)는 \((-1)^{k+1}\frac{1}{(2k+1)^{5}}\)로 주어진다. 

\(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\)  삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수 참조

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(\frac{\pi}{2}\times \frac{5}{24}\times \frac{\pi^4}{16}\)임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 \(0=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n}}{(2n-1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{5}}\)

따라서 \(\beta(5)=\frac{5\pi^5}{1536}\)

 

일반적인 자연수 \(k\) 에 대하여도 마찬가지 방법으로

\(\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}\)

을 얻는다.

 

또한 함수방정식으로부터 \(\beta(0)=\frac{1}{2}\) 와 나머지 짝수인 음의 정수에서의 값을 구할 수 있음

 

 

special values for derivative

\(\beta'(1)\) 의 값

\(\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\) 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)  을 사용하면,

\(\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\)

\(\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\)

위의 함수방정식을 사용하자.

Digamma 함수 의 값 \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\) 를 활용하여,

\(\beta'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\)

를 얻는다. 

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 다른 주제들

• 카탈란 상수
  
• 코탄젠트
  
• 감마함수
  
• 정수에서의 리만제타함수의 값
  

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=secant
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서 및 추천도서

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