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*  라마누잔이 많은 계산 결과를 남겨놓은 분야<br>
 
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<math>G_n:=(2kk')^{-1/12}=2^{-1/4}f(\sqrt{-n})</math>
  
 
 
 
 
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<math>\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}</math>
 
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[[자코비 세타함수]]
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<math>k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>
 
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<math>k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>
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[[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]]
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<math>f(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math>
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<math>f_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math>
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<math>f_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math>
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여기서  <math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math> 는 [[데데킨트 에타함수]]
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2009년 10월 24일 (토) 13:39 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개
  • 라마누잔이 많은 계산 결과를 남겨놓은 분야

\(G_n:=(2kk')^{-1/12}=2^{-1/4}f(\sqrt{-n})\)

 

 

 

\(g_n:=(\frac{k'(i\sqrt{n})^2}{2k(i\sqrt{n})})^{1/12}\)

 

\(g_{58}^2=\frac{\sqrt{29}+5}{2}\)

 

 

정의

\(q=e^{2\pi i \tau}\)

\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)

\(\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\)

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

자코비 세타함수

 

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

 

\(f(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(f_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(f_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

여기서  \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\) 는 데데킨트 에타함수

 

 

 

 

 

 

 

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