"마친(Machin)의 공식"의 두 판 사이의 차이
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* 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음. | * 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음. | ||
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* [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula]<br> | ||
− | ** Roger B. Nelsen | + | ** Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337 |
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2010년 3월 15일 (월) 06:25 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)
증명
- (증명)
\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.
탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,
\(\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\)
\(\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\)
이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.
탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.
\(\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\)
이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)
일반화
- 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
사전형태의 참고자료
관련논문
- A Geometric Proof of Machin's Formula
- Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337