"마친(Machin)의 공식"의 두 판 사이의 차이
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* 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음. | * 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음. | ||
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+ | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
+ | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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2010년 7월 31일 (토) 12:51 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\) - 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨
배각공식을 통한 증명
\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.
탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,
\(\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\)
\(\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\)
이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.
탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.
\(\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\)
이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)■
복소수의 곱셈을 통한 증명
\((5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i\) 임을 확인하자.
이로부터, 다음을 얻는다.
\(4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi\)
따라서
\(4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi\). ■
일반화
- 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
역사
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
사전형태의 참고자료
관련논문
- A Geometric Proof of Machin's Formula
- Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337