"미분형식과 맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지를 개설하였습니다.)
 
 
(사용자 2명의 중간 판 64개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==개요==
  
 +
*  전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
 +
*  이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==포벡터 포텐셜 1-form==
 +
 +
* [[전자기 포텐셜과 맥스웰 방정식|포벡터 포텐셜]] 을 1-form 으로 이해할 수 있다
 +
* <math>(A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})</math>
 +
* 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==전자기 텐서 2-form==
 +
 +
* [[전자기 텐서와 맥스웰 방정식|전자기 텐서]]<math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>:<math>F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 &  \frac{E_x}{c} &  \frac{E_y}{c} &  \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c}  & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)</math>
 +
* [[전자기 텐서와 맥스웰 방정식|전자기 텐서와 맥스웰 방정식]] 전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음:<math>F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}</math>:<math>F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y</math>
 +
* <math>F=dA</math> 이며, 따라서 <math>dF=0</math> 를 얻는다
 +
*  이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다:<math>F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==Hodge star 연산자==
 +
 +
* <math>\star dx dy =-dzdt</math>
 +
* <math>\star dy dz =-dxdt</math>
 +
* <math>\star dz dx =-dydt</math>
 +
* <math>\star dx dt =dydz</math>
 +
* <math>\star dy dt =dzdx</math>
 +
* <math>\star dz dt=dxdy</math>
 +
*  전자기 텐서의 dual:<math>F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y</math>:<math>\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==전류 4-vector==
 +
 +
*  미분형식으로 표현하면,
 +
**  1-form <math>J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz</math>
 +
**  dual 3-form <math>\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt </math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==맥스웰 방정식의 미분형식 표현==
 +
 +
* [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>):<math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}</math>,  <math>\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>)
 +
* 단위는 <math>\mu_0 \varepsilon_0=c=1</math> 이 되도록 선택
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==메모==
 +
 +
 +
 +
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
 +
* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra]]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==사전 형태의 자료==
 +
 +
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_approach
 +
 +
 +
 +
 +
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 +
 +
* [http://users.aims.ac.za/%7Esolomon/akason.pdf Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms]
 +
* [http://www.math.purdue.edu/%7Edvb/preprints/diffforms.pdf Introduction to differential forms]
 +
* [http://www.math.sunysb.edu/%7Ebrweber/401s09/coursefiles/ElectromagneticNotes.pdf Notes on Electrodynamics]
 +
* 슬라이드 [https://www.nottingham.ac.uk/ggiemr/downloads/GCEM.pdf Geometrical Concepts in Teaching Electromagnetics]
 +
 +
* [http://www22.pair.com/csdc/pd2/pd2fre21.htm Maxwell Theory and Differential Forms]
 +
** [http://www22.pair.com/csdc/pdf/maxwell.pdf http://www22.pair.com/csdc/]
 +
** [http://www22.pair.com/csdc/pdf/maxwell.pdf Maxwell Faraday and Maxwell Ampere Equations]
 +
* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.117.7828&rep=rep1&type=pdf Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Dierential Forms]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
[[분류:수리물리학]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6786849 Q6786849]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'mathematical'}, {'LOWER': 'descriptions'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'electromagnetic'}, {'LEMMA': 'field'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

  • 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
  • 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다



포벡터 포텐셜 1-form

  • 포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
  • \((A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\)
  • 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)



전자기 텐서 2-form

  • 전자기 텐서\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)\[F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\]
  • 전자기 텐서와 맥스웰 방정식 전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음\[F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\]\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]
  • \(F=dA\) 이며, 따라서 \(dF=0\) 를 얻는다
  • 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다\[F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\]



Hodge star 연산자

  • \(\star dx dy =-dzdt\)
  • \(\star dy dz =-dxdt\)
  • \(\star dz dx =-dydt\)
  • \(\star dx dt =dydz\)
  • \(\star dy dt =dzdx\)
  • \(\star dz dt=dxdy\)
  • 전자기 텐서의 dual\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]\[\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\]



전류 4-vector

  • 미분형식으로 표현하면,
    • 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
    • dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)



맥스웰 방정식의 미분형식 표현

  • 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다\[dF=0\] (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))\[d{\star F}=\star J\] (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}\), \(\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\))
  • 단위는 \(\mu_0 \varepsilon_0=c=1\) 이 되도록 선택



메모



관련된 항목들




사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'mathematical'}, {'LOWER': 'descriptions'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'electromagnetic'}, {'LEMMA': 'field'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=미분형식과_맥스웰_방정식&oldid=52298"