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==개요==
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* 타원함수의 예
  
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==정의==
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* 2차원격자의 기저가 되는 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 대하여, 다음과 같은 복소함수를 정의
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:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>
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* 이중주기를 갖는 함수
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:<math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)</math>
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==℘의 로랑급수==
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*  원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.
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:<math>\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)</math> 여기서
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:<math>
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g_2= 60\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-4}\\
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g_3=140\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-6}
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</math>
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;증명
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함수 <math>\zeta(z)</math>를 다음과 같이 정의하자
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:<math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^2})</math>
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함수 <math>\wp(z)</math>는
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:<math>\wp(z)=-\zeta'(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right)</math>을 만족하므로,
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<math>\zeta(z)</math>의 로랑급수를 구한 뒤 미분을 하면 된다.
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:<math>
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\begin{align}
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\zeta(z)&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}\\
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&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\\
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&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)\\
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&=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}
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\end{align}
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</math>
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여기서
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:<math>G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0} \frac{1}{\omega^{2n}}.</math>
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따라서
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:<math>\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}</math>
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* <math>G_{2n}</math>에 대해서는 [[모듈라 형식(modular forms)]]의 아이젠슈타인 급수 참조.
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==미분방정식==
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*  바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴:<math>\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3</math>
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==도함수의 해==
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* <math>\wp(z)</math>는 우함수, <math>\wp'(z)</math>는 기함수임을 이용하면, <math>\wp'(\frac{\omega}{2})=0</math> 임을 증명할 수 있다
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* <math>e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>
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*  다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음:<math>y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math>
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==덧셈공식==
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<math>\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2</math>
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==자코비 세타함수를 이용한 표현==
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* http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/WeierstrassP/27/02/03/0002/
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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* 
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==메모==
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* [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Emengland/Conferences/Burnhandout.pdf http://www.maths.gla.ac.uk/~mengland/Conferences/Burnhandout.pdf]
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*  The zeros of theWeierstrass }–function and hypergeometric series W. Duke and O¨ . Imamog¯lu [http://www.math.ucla.edu/%7Ewdduke/preprints/zeros.pdf http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/zeros.pdf]
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*  TeX symbol \wp, Unicode U+2118
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==관련된 항목들==
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* [[타원 모듈라 λ-함수]]
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
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* [[바이어슈트라스 시그마 함수]]
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* [[바이어슈트라스 제타 함수]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVHpIdmZmd3RGU2s/edit
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==사전 형태의 자료==
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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** [http://dlmf.nist.gov/23 Chapter 23 Weierstrass Elliptic and Modular Functions]
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==관련논문==
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* Brizard, Alain J. “Notes on the Weierstrass Elliptic Function.” arXiv:1510.07818 [math-Ph], October 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.07818.
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* Eilbeck, J. Chris, Matthew England, and Yoshihiro Ônishi. 2012. “Some New Addition Formulae for Weierstrass Elliptic Functions.” arXiv:1207.6274 [math], July. http://arxiv.org/abs/1207.6274.
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[[분류:리만곡면론]]
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[[분류:특수함수]]

2020년 11월 13일 (금) 07:04 기준 최신판

개요

  • 타원함수의 예


정의

  • 2차원격자의 기저가 되는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 대하여, 다음과 같은 복소함수를 정의

\[\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\]

  • 이중주기를 갖는 함수

\[\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)\]


℘의 로랑급수

  • 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.

\[\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)\] 여기서 \[ g_2= 60\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-4}\\ g_3=140\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-6} \]


증명

함수 \(\zeta(z)\)를 다음과 같이 정의하자 \[\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^2})\]

함수 \(\wp(z)\)는 \[\wp(z)=-\zeta'(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right)\]을 만족하므로, \(\zeta(z)\)의 로랑급수를 구한 뒤 미분을 하면 된다.

\[ \begin{align} \zeta(z)&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}\\ &=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\\ &=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)\\ &=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1} \end{align} \] 여기서 \[G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0} \frac{1}{\omega^{2n}}.\] 따라서 \[\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}\] ■

미분방정식

  • 바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴\[\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3\]



도함수의 해

  • \(\wp(z)\)는 우함수, \(\wp'(z)\)는 기함수임을 이용하면, \(\wp'(\frac{\omega}{2})=0\) 임을 증명할 수 있다
  • \(e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\)\[e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]\[e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]
  • 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음\[y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\]



덧셈공식

\(\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2\)


자코비 세타함수를 이용한 표현


역사



메모



관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련논문

  • Brizard, Alain J. “Notes on the Weierstrass Elliptic Function.” arXiv:1510.07818 [math-Ph], October 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.07818.
  • Eilbeck, J. Chris, Matthew England, and Yoshihiro Ônishi. 2012. “Some New Addition Formulae for Weierstrass Elliptic Functions.” arXiv:1207.6274 [math], July. http://arxiv.org/abs/1207.6274.
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