타원 모듈라 λ-함수

수학노트
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개요

  • <math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)</math> 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
  • 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 <math>j</math>-불변량(타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant))에 그 자리를 내줌
  • level 2 인 congruence 모듈라 군(modular group) <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수가 됨:<math>\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math>



세타함수와의 관계

<math>k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}</math>
<math>\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}</math>
  • 푸리에 전개
<math>

\lambda(\tau)=16 q - 128 q^2 + 704 q^3 - 3072 q^4 + 11488 q^5 - 38400 q^6, \quad q=e^{\pi i \tau} </math>



바이어슈트라스 타원함수와의 관계

<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>
  • <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math> 로 두면, 다음을 얻는다
<math>\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}</math> 여기서
<math>e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2),\quad e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>
  • <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> 네 점의 교차비로 이해할 수 있음
  • 사영기하학과 교차비 항목 참조
  • <math>z_4=\infty</math> 인 경우
<math>(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}</math>



모듈라군에 의한 변환

  • 모듈라 군(modular group)에 의한 변환
  • 생성원:<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
  • <math>T: \tau \to \tau+1</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}</math>
  • <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)</math>
  • 따라서 모듈라 군(modular group)에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다
<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math>


타원 모듈라 j-함수와의 관계

<math>j(\tau)=256\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2}</math>

(증명) <math>k=e^{\frac{2 i \pi }{3}}</math>로 두고, 다음과 같은 함수를 생각하자.

<math>

(\lambda(\tau)+k)( {1\over\lambda(\tau)}+k)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+k)( 1-\lambda(\tau)+k)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+k)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)}+k)=-\frac{\left(1-\lambda (\tau )+\lambda (\tau )^2\right)^3}{(1-\lambda (\tau ))^2 \lambda (\tau )^2} </math> 모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변임을 알 수 있다.


special values

<math>\lambda(i\infty)=0</math>

<math>\lambda(0)=1</math>

<math>\lambda(1)=\infty</math>

<math>\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}</math>

<math>\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})</math> 는 <math>1-\lambda+\lambda^2=0</math> 의 두 해


모듈라 다항식

  • <math>P_n\bigl(16\lambda(n\tau),16\lambda(\tau)\bigr)=0</math>를 만족하는 다항식 <math>P_n(x,y)\in{\mathbb{

Z}}[x,y]</math>이 존재하며, 이 때 차수는 <math>x,y</math> 각각에 대하여 <math>\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)</math>로 주어진다


역사



메모

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련논문

  • Ishii, Noburo. ‘Minimal Equations and Values of Generalized Lambda Functions’. arXiv:1504.05272 [math], 20 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.05272.
  • Mirokov, V. D. 2009. “On Some Properties of a Modular Polynomial for the Lambda Function.” Rossi\uı Skaya Akademiya Nauk. Matematicheskie Zametki 86 (2): 237–255. doi:http://dx.doi.org//10.1134/S0001434609070244.

관련도서

  • [AHL1979]Lars Ahlfors, Complex Analysis , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
    • 7.3.4를 참고

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'modular'}, {'LOWER': 'lambda'}, {'LEMMA': 'function'}]
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