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| + | * <math>\mathfrak{f}(\tau)^{24}</math>, <math>-\mathfrak{f}_ 1(\tau)^{24}</math>, <math>-\mathfrak{f}_ 2(\tau)^{24}</math>는 <math>(x-16)^3-j(\tau)x=0</math> 의 근이다 | ||
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| + | * [[로저스-라마누잔 항등식]]과 유사하게 q-초기하급수 표현이 존재한다 | ||
| + | * [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 의 공식:<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math> | ||
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| + | :<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math> | ||
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| + | :<math>f(\tau)=q^{-1/48}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-1/2})=q^{-1/48}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q^1)(1-q^2)\cdots(1-q^{n})}</math> | ||
| + | :<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math> | ||
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| + | :<math>\mathfrak{f}_2(\tau)={\sqrt{2}q^{1/24} \over 1- } {q \over 1-q+} {q \over 1+q-} {q^3 \over 1-q^3+} \cdots</math> | ||
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| − | + | * [[라마누잔의 class invariants]] | |
| + | * [[데데킨트 에타함수]] | ||
| + | * [[로저스-라마누잔 항등식]] | ||
| + | * [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] | ||
| + | * [[자코비 세타함수]] | ||
| + | * [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]] | ||
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| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeVNNb0I3Qk5nd0k/edit | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
| + | * '''[Duke2005]'''W. Duke, [http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions] , Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162 | ||
| + | * [http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/CRELLE.2007.052 Characters, supercharacters and Weber modular functions] | ||
| + | ** Antun Milas, 2005 | ||
| + | * [http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2002__14_1_325_0 Weber's class invariants revisited] | ||
| + | ** Reinhard Schertz, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343 | ||
| + | * [http://www.ams.org/mcom/1997-66-220/S0025-5718-97-00854-5/ On The Singular Values Of Weber Modular Functions] | ||
| + | ** Noriko Yui , Don Zagier, Math. Comp. 66 (1997), 1645-1662 | ||
| + | * [http://dx.doi.org/10.1112/S0025579300008251 Weber's Class Invariants] | ||
| + | ** B. J. Birch, Mathematika 16 (1969) | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
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| − | + | * 베버의 책 | |
| − | + | ** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=06740001 Elliptische functionen und algebraische zahlen] (1891). [http://www.amazon.com/dp/1429701919?tag=corneunivelib-20 available in print] | |
| − | + | ** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=webe031 Lehrbuch der Algebra (Volume 1)] (1898). [http://astech.library.cornell.edu/ast/math/additional/Digital-Books.cfm available in print] | |
| − | + | ** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=webe032 Lehrbuch der Algebra (Volume 2)] (1898). [http://astech.library.cornell.edu/ast/math/additional/Digital-Books.cfm available in print] | |
| − | + | ** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=webe034 Lehrbuch der Algebra (Volume 3)] (1898). [http://astech.library.cornell.edu/ast/math/additional/Digital-Books.cfm available in print] | |
| − | + | ** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=02910001 Theorie der Abelschen Functionen vom Geschlecht 3] (1876). [http://www.amazon.com/dp/1429704683?tag=corneunivelib-20 available in print] | |
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2014년 5월 21일 (수) 17:01 기준 최신판
개요
- 모듈라 함수
- 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음
- class field theory에서 중요한 역할
- q-초기하급수의 형태로 표현됨
정의
- 다음과 같이 세 함수를 정의
\[\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_ 1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\] 여기서 \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\) 는 데데킨트 에타함수
모듈라 성질
- \(\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}_ 2(\tau+1)=\zeta_{24}\mathfrak{f}_ 2(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}_ 1(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 2(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}_ 2(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
항등식
- 다음의 항등식을 만족한다
\[\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\] \[\mathfrak{f}(\tau)\mathfrak{f}_ 1(\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\] \[\mathfrak{f}(\tau)^8=\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8+\mathfrak{f}_ 2(\tau)^8\]
j-불변량과의 관계
- 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
- \(\mathfrak{f}(\tau)^{24}\), \(-\mathfrak{f}_ 1(\tau)^{24}\), \(-\mathfrak{f}_ 2(\tau)^{24}\)는 \((x-16)^3-j(\tau)x=0\) 의 근이다
- 다음의 관계가 성립한다
\[\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\] \[\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(\tau)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8 - \mathfrak{f}_ 2(\tau)^8)}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}\]
special values
- 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli
- \(\mathfrak{f}(i)^8=4\)
- \(\mathfrak{f}_ 1(i)^8=2\)
- \(\mathfrak{f}_ 2(i)^8=2\)
- \(\mathfrak{f}_ 1(2i)^8=8\)
- If \(\tau=\sqrt{-m}\), \(m\equiv 1 \pmod 4\), then \(2^{-1/8}\mathfrak{f}_2(\tau)\) is a unit.
q-초기하급수 표현
- 로저스-라마누잔 항등식과 유사하게 q-초기하급수 표현이 존재한다
- q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 공식\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]
- \(z=q^{1/2}\) 인 경우
\[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} \] \[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} \]
- \(z=q\) 인 경우
\[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]
- 위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다
\[f(\tau)=q^{-1/48}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-1/2})=q^{-1/48}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q^1)(1-q^2)\cdots(1-q^{n})}\] \[\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]
연분수표현
- [Duke2005] 154p
\[\mathfrak{f}_2(\tau)={\sqrt{2}q^{1/24} \over 1- } {q \over 1-q+} {q \over 1+q-} {q^3 \over 1-q^3+} \cdots\]
역사
관련된 항목들
- 라마누잔의 class invariants
- 데데킨트 에타함수
- 로저스-라마누잔 항등식
- Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)
- 자코비 세타함수
- 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- [Duke2005]W. Duke, Continued fractions and modular functions , Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
- Characters, supercharacters and Weber modular functions
- Antun Milas, 2005
- Weber's class invariants revisited
- Reinhard Schertz, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343
- On The Singular Values Of Weber Modular Functions
- Noriko Yui , Don Zagier, Math. Comp. 66 (1997), 1645-1662
- Weber's Class Invariants
- B. J. Birch, Mathematika 16 (1969)
관련도서
- 베버의 책
- Elliptische functionen und algebraische zahlen (1891). available in print
- Lehrbuch der Algebra (Volume 1) (1898). available in print
- Lehrbuch der Algebra (Volume 2) (1898). available in print
- Lehrbuch der Algebra (Volume 3) (1898). available in print
- Theorie der Abelschen Functionen vom Geschlecht 3 (1876). available in print