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* 카르탄 행렬이 주어질 때, 리대수를 생성원과 관계식으로 얻을 수 있다
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==세르 관계식==
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* l : 리대수 <math>\mathfrak{g}</math>의 rank
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* <math>(a_{ij})</math> : 카르탄 행렬
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* 생성원 <math>e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)</math>
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*  세르 관계식
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** <math>\left[h_i,h_j\right]=0</math>
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** <math>\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i</math>
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** <math>\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j</math>
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** <math>\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j</math>
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** <math>\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0</math> (<math>i\neq j</math>)
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** <math>\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0</math> (<math>i\neq j</math>)
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*  ad 는 adjoint 의 약자
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** <math>\left(\text{ad} x\right){}^{3}\left(y\right)=[x, [x, [x, y]]]</math>
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** <math>\left(\text{ad} x\right){}^{4}\left(y\right)=[x, [x, [x, [x, y]]]]</math>
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==sl(3)의 예==
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*  카르탄 행렬:<math>\left( \begin{array}{cc}  2 & -1 \\  -1 & 2 \end{array} \right)</math>
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* <math>i\neq j</math> 일 때:<math>\left(\text{ad} e_i\right){}^{2}\left(e_j\right)=[e_i, [e_i,e_j]]=0</math>:<math>\left(\text{ad} f_i\right){}^{2}\left(f_j\right)=[f_i, [f_i,f_j]]=0</math>
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* <math>e_1,e_2,h_1,h_2,f_1,f_2, \left[e_1,e_2\right], \left[f_1,f_2\right]</math>는 리대수의 기저가 된다
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==UEA 에서의 관계식==
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*  카르탄행렬이 <math>(a_{ij})</math> 로 주어지는 리대수 <math>\mathfrak{g}</math>의 UEA <math>U(\mathfrak{g})</math> 에서 다음의 두 식
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:<math>\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0, \quad i\neq j</math>
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:<math>\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0, \quad i\neq j</math>
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*  다음과 같이 표현할 수 있다:<math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0</math>:<math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0</math>
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*  풀어 쓰면 다음과 같은 형태가 된다:<math>x\otimes x\otimes y-2 x\otimes y\otimes x+y\otimes x\otimes x</math>:<math>x\otimes x\otimes x\otimes y-3 x\otimes x\otimes y\otimes x+3 x\otimes y\otimes x\otimes x-y\otimes x\otimes x\otimes x</math>:<math>x\otimes x\otimes x\otimes x\otimes y-4 x\otimes x\otimes x\otimes y\otimes x+6 x\otimes x\otimes y\otimes x\otimes x-4 x\otimes y\otimes x\otimes x\otimes x+y\otimes x\otimes x\otimes x\otimes x</math>
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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* [[Quantized universal enveloping algebra]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdXBTZ0piWXp6eWc/edit
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[[분류:리군과 리대수]]

2020년 11월 12일 (목) 23:22 기준 최신판

개요

  • 단순리대수의 특별한 생성원이 만족시키는 관계식
  • 카르탄 행렬이 주어질 때, 리대수를 생성원과 관계식으로 얻을 수 있다
  • 캐츠-무디 대수 (Kac-Moody algebra)로 확장된다



세르 관계식

  • l : 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 rank
  • \((a_{ij})\) : 카르탄 행렬
  • 생성원 \(e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)\)
  • 세르 관계식
    • \(\left[h_i,h_j\right]=0\)
    • \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
    • \(\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j\)
    • \(\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j\)
    • \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
    • \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
  • ad 는 adjoint 의 약자
    • \(\left(\text{ad} x\right){}^{3}\left(y\right)=[x, [x, [x, y]]]\)
    • \(\left(\text{ad} x\right){}^{4}\left(y\right)=[x, [x, [x, [x, y]]]]\)



sl(3)의 예

  • 카르탄 행렬\[\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)\]
  • \(i\neq j\) 일 때\[\left(\text{ad} e_i\right){}^{2}\left(e_j\right)=[e_i, [e_i,e_j]]=0\]\[\left(\text{ad} f_i\right){}^{2}\left(f_j\right)=[f_i, [f_i,f_j]]=0\]
  • \(e_1,e_2,h_1,h_2,f_1,f_2, \left[e_1,e_2\right], \left[f_1,f_2\right]\)는 리대수의 기저가 된다




UEA 에서의 관계식

  • 카르탄행렬이 \((a_{ij})\) 로 주어지는 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 UEA \(U(\mathfrak{g})\) 에서 다음의 두 식

\[\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0, \quad i\neq j\] \[\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0, \quad i\neq j\]

  • 다음과 같이 표현할 수 있다\[\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0\]\[\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0\]
  • 풀어 쓰면 다음과 같은 형태가 된다\[x\otimes x\otimes y-2 x\otimes y\otimes x+y\otimes x\otimes x\]\[x\otimes x\otimes x\otimes y-3 x\otimes x\otimes y\otimes x+3 x\otimes y\otimes x\otimes x-y\otimes x\otimes x\otimes x\]\[x\otimes x\otimes x\otimes x\otimes y-4 x\otimes x\otimes x\otimes y\otimes x+6 x\otimes x\otimes y\otimes x\otimes x-4 x\otimes y\otimes x\otimes x\otimes x+y\otimes x\otimes x\otimes x\otimes x\]


역사



메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스

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