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<math>\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))</math><br>
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==개요==
  
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여기서 <math>G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx</math>
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* 역함수를 이용한 치환적분법
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:<math>\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))</math>
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여기서 <math>G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx</math>
  
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문제  
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==예==
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* 다음 부정적분
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:<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx</math>
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* <math>G</math>는 다음과 같다
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<math>G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C</math>
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따라서,
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:<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math>
  
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<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx</math>
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<math>G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C</math><br>
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==관련된 항목들==
  
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따라서, <br>
 
  
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<math>\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx=(x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math>
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[[분류:적분]]
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<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math>
 

2020년 12월 28일 (월) 02:44 기준 최신판

개요

  • 역함수를 이용한 치환적분법

\[\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))\] 여기서 \(G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx\)


예

  • 다음 부정적분

\[\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx\]

  • \(G\)는 다음과 같다

\(G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C\) 따라서, \[\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C\]


관련된 항목들

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