역함수를 이용한 치환적분

개요

• 역함수를 이용한 치환적분법

<math>\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx+xf(x)-\int f^{-1}(f(x))f'(x)\,dx+xf(x)-G(f(x))</math>

여기서 <math>G(x)= \int f^{-1}(x)\,dx</math>

예

• 다음 부정적분

<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx</math>

• <math>G</math>는 다음과 같다

<math>G(x)=\int f^{-1}(x)\,dx= \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int(1-\frac{1}{1+x^2})\,dx=x-\arctan x+C</math> 따라서,

<math>\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\,dx= (x-1)\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\arctan{\sqrt{\frac{x}{1-x}}}+C</math>