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| + | * [[셀베르그 적분(Selberg integral)]]으로 일반화된다 | ||
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<math>B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta</math> | <math>B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta</math> | ||
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| + | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]:<math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math> | ||
| + | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math> | ||
| + | ;(증명):<math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})</math> ■ | ||
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| + | :<math>B(a,b) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}= \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt</math> | ||
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| + | * [[무리수와 초월수]] | ||
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| − | * | + | * [[셀베르그 적분(Selberg integral)]] |
| + | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]] | ||
| + | * [[감마함수]] | ||
| + | * [[가우시안 적분]] | ||
| + | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] | ||
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWGp6UG9XRldfdnc/edit | ||
| − | + | ==수학용어번역== | |
| − | * | + | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] |
| − | + | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | |
| − | ** http:// | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
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| + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A0%ED%83%80_%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/베타_함수] | ||
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function | ||
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_integral | ||
| + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta+integral | ||
| + | * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta%281/2,1/4%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)] | ||
| + | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| + | ** http://dlmf.nist.gov/5/12/ | ||
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| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * Neretin, Yury A. ‘Matrix Beta-Integrals: An Overview’. arXiv:1411.2110 [math], 8 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2110. | ||
| + | * S. Ole Warnaar, [http://www.maths.uq.edu.au/%7Euqowarna/talks/Wien.pdf Beta Integrals] | ||
| + | * Askey, Richard. “Beta Integrals and the Associated Orthogonal Polynomials.” In Number Theory, Madras 1987, edited by Krishnaswami Alladi, 84–121. Lecture Notes in Mathematics 1395. Springer Berlin Heidelberg, 1989. http://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0086401. | ||
| + | * Askey, Richard. ‘Ramanujan’s Extensions of the Gamma and Beta Functions’. The American Mathematical Monthly 87, no. 5 (1 May 1980): 346–59. doi:10.2307/2321202. | ||
| − | + | [[분류:적분]] | |
| + | [[분류:특수함수]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| − | * [ | + | ===위키데이터=== |
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q468881 Q468881] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'beta'}, {'LEMMA': 'function'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:53 기준 최신판
개요
- 두 변수 x,y 에 대하여 다음과 같이 적분으로 정의되는 함수\[B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\]
- 셀베르그 적분(Selberg integral)으로 일반화된다
삼각함수의 적분과의 관계
\(B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2})}{2\Gamma(n+1)}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\)
(증명)
\(B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\) 에서\(t=\sin^{2} \theta\) 로 치환 ■
베타적분과 감마함수
- 감마함수를 이용하여, 다음과 같이 표현할 수 있다\[B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]
(증명)
가우시안 적분의 아이디어와 비슷하다.
\(\Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv\)
\(u = a^2\)와 \(v = b^2\) 로 치환하면,
\(\Gamma(x)\Gamma(y) = 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\,da \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db\)
\(= 4\int_{0}^\infty\ \int_{0}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} a^{2x-1} b^{2y-1} \,da \,db\)
\(=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\infty\ e^{-r^2} (r\cos\theta)^{2x-1} (r\sin\theta)^{2y-1} r \, dr \,d\theta\)
\(= 4\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}\, d\theta\)
\(= 2\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) \int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta\)
\(= \Gamma(x+y)B(x,y)\) ■
성질
- \(x+y+z=1\) 이면, \(\frac{\pi B(y,z)}{\sin \pi x}=\Gamma(x)\Gamma(y)\Gamma(z)\) ;(증명)
\[\Gamma(1-x)\Gamma(x) = {\pi \over \sin{\pi x}} \,\!\]
무리함수의 적분과 감마함수
\(n>0\)에 대하여,
\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\)
이 성립한다
(증명)
\(t=x^n\) 으로 치환하면, \(dt=nx^{n-1}\,dx=nt^{\frac{n-1}{n}}\,dx\).
\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}\int_0^1\frac{t^{-\frac{n-1}{n}}}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{1}{n}\int_0^1{t^{\frac{1}{n}-1}}(1-t)^{\frac{1}{2}-1}dt=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\). ■
타원적분과의 관계
- lemniscate 곡선의 길이와 타원적분\[4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\]
- (증명)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\] ■
베타적분과 초월수
- 정리
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q}\backslash\mathbb{Z}\) 라 하자. \(B(a,b)\) 는 초월수이다. 즉 \[B(a,b) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}= \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\] 는 초월수이다.
역사
관련된 항목들
- 셀베르그 적분(Selberg integral)
- 렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분
- 감마함수
- 가우시안 적분
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
매스매티카 파일 및 계산리소스
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/베타_함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_integral
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta+integral
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
리뷰, 에세이, 강의노트
- Neretin, Yury A. ‘Matrix Beta-Integrals: An Overview’. arXiv:1411.2110 [math], 8 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2110.
- S. Ole Warnaar, Beta Integrals
- Askey, Richard. “Beta Integrals and the Associated Orthogonal Polynomials.” In Number Theory, Madras 1987, edited by Krishnaswami Alladi, 84–121. Lecture Notes in Mathematics 1395. Springer Berlin Heidelberg, 1989. http://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0086401.
- Askey, Richard. ‘Ramanujan’s Extensions of the Gamma and Beta Functions’. The American Mathematical Monthly 87, no. 5 (1 May 1980): 346–59. doi:10.2307/2321202.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q468881
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'beta'}, {'LEMMA': 'function'}]